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Définitions de base

Définition [Définitions de base] On appelle triplet de probabilité un triplet $ (\Omega,{\cal F},P)$, avec $ P$ une mesure de probabilité sur $ (\Omega,{\cal F})$.
$ \Omega$ est appelé l'univers.
Un élément de $ \Omega$ est appelé possible.
On appelle évènement une partie mesurable de $ \Omega$, c'est à dire un élément de $ {\cal F}$, c'est à dire une partie $ {\cal F}$-mesurable.

Proposition Si chaque $ (F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est de mesure $ 1$, c'est à dire que chaque évènement $ F_n$ est réalisé presque sûrement1.1, alors $ \cap_{n \in \mathbb{N}} F_n$ se réalise avec une probabilité $ 1$. Si $ E_n$ est une suite d'évènements tels que $ \sum_i P(E_i) < +\infty$, alors $ P(lim sup\ E_n)=0$. Ce résultat est connu sous le nom de premier lemme de Borel-Cantelli.

On notera une nouvelle façon de voir $ lim sup$ des $ E_n$, avec les $ E_n$ des évènements; en l'écrivant $ \cap_n \cup_{k\leq n} E_n$, on voit maintenant cette limite comme l'évènement qui arrive "infiniment souvent"; c'est l'ensemble de $ {\omega}$ qui appartiennent à une infinité de $ E_n$.
De même on peut voir différemment $ lim inf$ des $ E_n$, avec les $ E_n$ des évènements; en l'écrivant $ \cup_n \cap{k \leq n} E_n$, on voit $ liminf \ E_n$ comme l'ensemble des $ {\omega}$ tels que $ {\omega}$ est dans tout $ E_n$ pour $ n$ assez grand ( $ \geq N_{\omega}$ avec $ N_{\omega}$ dépendant de $ {\omega}$).

On peut trouver ici des corollaires du lemme de Fatou; notamment les deux propriétés suivantes:
$ \bullet\ $ $ P(liminf\ E_n)\leq liminf\ P(E_n)$
$ \bullet\ $ $ P(limsup\ E_n)\geq limsup\ P(E_n)$
La première propriété est vraie dans le cas d'un espace mesuré quelconque; la seconde demande que la mesure soit finie, ce qui est donc le cas dans le cadre d'un espace de probabilité.



Notes

... s\^urement1.1
Notez que presque sûrement est l'analogue, pour une mesure de probabilité, de presque partout, en théorie de la mesure.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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