Définitions de base

Définition [Définitions de base] On appelle triplet de probabilité un triplet , avec une mesure de probabilité sur .
est appelé l'univers.
Un élément de est appelé possible.
On appelle évènement une partie mesurable de , c'est à dire un élément de , c'est à dire une partie -mesurable.

Proposition Si chaque est de mesure , c'est à dire que chaque évènement est réalisé presque sûrement^1.1, alors se réalise avec une probabilité . Si est une suite d'évènements tels que , alors . Ce résultat est connu sous le nom de premier lemme de Borel-Cantelli.

On notera une nouvelle façon de voir des , avec les des évènements; en l'écrivant , on voit maintenant cette limite comme l'évènement qui arrive "infiniment souvent"; c'est l'ensemble de qui appartiennent à une infinité de .
De même on peut voir différemment des , avec les des évènements; en l'écrivant , on voit comme l'ensemble des tels que est dans tout pour assez grand ( avec dépendant de ).

On peut trouver ici des corollaires du lemme de Fatou; notamment les deux propriétés suivantes:


La première propriété est vraie dans le cas d'un espace mesuré quelconque; la seconde demande que la mesure soit finie, ce qui est donc le cas dans le cadre d'un espace de probabilité.

Notes

... s\^urement^1.1

Notez que presque sûrement est l'analogue, pour une mesure de probabilité, de presque partout, en théorie de la mesure.