Définition [Variable aléatoire]
Une variable aléatoire est simplement une fonction mesurable d'un univers vers
(muni de sa tribu borélienne pour la topologie usuelle).
On peut voir alors de nombreux outils qui seront des variables aléatoires; par définition il suffit que soit mesurable pour tout borélien pour que soit une variable aléatoire (il faut bien entendu que l'espace de départ soit un univers, donc que la mesure de l'espace soit ). Toutes les opérations sur des fonctions à variables réelles qui conservent la mesurabilité sont alors possibles pour construire des variables aléatoires; la somme, le produit, la valeur absolue... Ce qui est cohérent par rapport à la notion intuitive de variable aléatoire; si un tirage aléatoire donne un réel et si l'on répète dix fois ce tirage aléatoire, alors la somme des résultats de ces dix tirages est une variable aléatoire, le produit aussi; ils ont eux aussi leurs distributions de probabilité (notion à définir plus tard).
Définition
Supposons que soit une variable aléatoire sur un triplet de probabilité
. est alors une application de dans
, et est une application de dans .Alors on définit la loi de probabilité
de par
( n'est pas l'application réciproque - non nécessairement bien définie - mais l'application qui à une partie associe son image réciproque);
est ainsi définie sur l'ensemble des boréliens de
.
est la probabilité pour que soit dans .
Proposition est une mesure de probabilité sur
.
Démonstration:Pas dur!
Définition
Soit
; alors est appelée fonction de répartition de .
Proposition
La donnée de détermine
de manière unique.
Démonstration: est un -système qui engendre l'ensemble des boréliens. Donc par le lemme est entièrement défini par la fonction
.
Proposition [Quelques propriétés des distributions]
Soit est une fonction de répartition d'une certaine variable aléatoire si et seulement si les quatre propriétés suivantes sont vérifiées:
est croissante de
dans quand
quand
est continue à droite en tout point.
Démonstration:Le sens "seulement si" ne pose pas trop de problème.
Les trois premiers points sont clairs, le quatrième utilise le fait que
l'ensemble des inférieurs à tend vers l'ensemble
des inférieurs à , en décroissant (en effet la mesure
d'une suite décroissante d'ensembles mesurables est égale à la mesure
de l'intersection).
Le sens "si" est plus délicat; la loi correspondant à
est définie par
.
Il convient alors de vérifier que ainsi défini est FLEMMARD
(muni de sa tribu borélienne
soit mesurable pour tout 
borélien pour que 
soit une variable aléatoire
). Toutes les opérations sur des fonctions à variables réelles qui conservent la mesurabilité sont alors possibles pour construire des variables aléatoires; la somme, le produit, la valeur absolue... Ce qui est cohérent par rapport à la notion intuitive de variable aléatoire; si un tirage aléatoire donne un réel et si l'on répète dix fois ce tirage aléatoire, alors la somme des résultats de ces dix tirages est une variable aléatoire, le produit aussi; ils ont eux aussi leurs distributions de probabilité (notion à définir plus tard).
soit une variable aléatoire
dans
est une application de 
dans ![$ [0,1]$](/e/a/a/img56.png){kind=small}
.Alors on définit la loi de probabilité
(
n'est pas l'application réciproque - non nécessairement bien définie - mais l'application qui à une partie associe son image réciproque);
est la probabilité pour que 
.
.
![$ F_X(t)=L_X(]-\infty,t])$](/e/a/a/img65.png){kind=small}
est appelée fonction de répartition![$ \{ ]-\infty,t] / t \in \mathbb{R}\}$](/e/a/a/img67.png){kind=small}
est un 
-système qui engendre l'ensemble des boréliens. Donc par le lemme ![[*]](/images/crossref.png)
![$ F_X(t)=L_X(]-\infty,t])=P(\{{\omega}\in \Omega / X({\omega}) \leq t \})$](/e/a/a/img69.png){kind=small}
.
est une fonction de répartition
quand
quand
inférieurs à 
tend vers l'ensemble
des 
, en décroissant (en effet la mesure
d'une suite décroissante d'ensembles mesurables est égale à la mesure
de l'intersection).
.
Il convient alors de vérifier que 
