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Définitions : variable aléatoire, loi, fonction de répartition

Définition [Variable aléatoire] Une variable aléatoire est simplement une fonction mesurable d'un univers vers $ \mathbb{R}$ (muni de sa tribu borélienne pour la topologie usuelle).

On peut voir alors de nombreux outils qui seront des variables aléatoires; par définition il suffit que $ f^{-1}(B)$ soit mesurable pour tout $ B$ borélien pour que $ f$ soit une variable aléatoire (il faut bien entendu que l'espace de départ soit un univers, donc que la mesure de l'espace soit $ 1$). Toutes les opérations sur des fonctions à variables réelles qui conservent la mesurabilité sont alors possibles pour construire des variables aléatoires; la somme, le produit, la valeur absolue... Ce qui est cohérent par rapport à la notion intuitive de variable aléatoire; si un tirage aléatoire donne un réel et si l'on répète dix fois ce tirage aléatoire, alors la somme des résultats de ces dix tirages est une variable aléatoire, le produit aussi; ils ont eux aussi leurs distributions de probabilité (notion à définir plus tard).

Définition Supposons que $ X$ soit une variable aléatoire sur un triplet de probabilité $ (\Omega,{\cal F},P)$. $ X$ est alors une application de $ \Omega$ dans $ \mathbb{R}$, et $ P$ est une application de $ {\cal F}$ dans $ [0,1]$.Alors on définit la loi de probabilité $ {\cal L}_X$ de $ X$ par $ {\cal L}_X=P \circ (X^{-1})$ ($ X^{-1}$ n'est pas l'application réciproque - non nécessairement bien définie - mais l'application qui à une partie associe son image réciproque); $ {\cal L}_X$ est ainsi définie sur l'ensemble des boréliens de $ \mathbb{R}$.

$ {\cal L}_X(A)$ est la probabilité pour que $ X$ soit dans $ A$.

Proposition $ {\cal L}_X$ est une mesure de probabilité sur $ (\mathbb{R},{\cal B})$.

Démonstration: Pas dur!$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Soit $ F_X(t)=L_X(]-\infty,t])$; alors $ F_X$ est appelée fonction de répartition de $ X$.

Proposition La donnée de $ F_X$ détermine $ {\cal L}_X$ de manière unique.

Démonstration: $ \{ ]-\infty,t] / t \in \mathbb{R}\}$ est un $ \Pi$-système qui engendre l'ensemble des boréliens. Donc par le lemme [*] $ {\cal L}_X$ est entièrement défini par la fonction $ F_X(t)=L_X(]-\infty,t])=P(\{{\omega}\in \Omega / X({\omega}) \leq t \})$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Quelques propriétés des distributions] Soit $ F$ est une fonction de répartition d'une certaine variable aléatoire si et seulement si les quatre propriétés suivantes sont vérifiées:
$ \bullet\ $$ F$ est croissante de $ \mathbb{R}$ dans $ [0,1]$
$ \bullet\ $ $ F(x) \to 1$ quand $ x \to +\infty$
$ \bullet\ $ $ F(x) \to 0$ quand $ x \to -\infty$
$ \bullet\ $$ F$ est continue à droite en tout point.

Démonstration: Le sens "seulement si" ne pose pas trop de problème. Les trois premiers points sont clairs, le quatrième utilise le fait que l'ensemble des $ {\omega}$ inférieurs à $ x+\frac1n$ tend vers l'ensemble des $ {\omega}$ inférieurs à $ x$, en décroissant (en effet la mesure d'une suite décroissante d'ensembles mesurables est égale à la mesure de l'intersection).
Le sens "si" est plus délicat; la loi $ X$ correspondant à $ F$ est définie par $ X({\omega})=inf\ \{z / F(z) \geq {\omega}\}$. Il convient alors de vérifier que $ X$ ainsi défini est FLEMMARD $ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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