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Applications des probabilités à l'échantillonnage

Cette partie ne se veut qu'une très brève introduction aux statistiques. Il est bien évident que dans le cadre de l'option probabilités de l'agrégation, il est indispensable de se référer à un livre plus complet. Les livres bien faits d'introduction abondent FLEMMARD. Nous nous contenterons ici de donner un cas d'applications, et de citer d'autres cadres d'applications. Soit $ X_1$, ... , $ X_n$ indépendantes identiquement distribués. On suppose le théorème central limite [*] vérifié. Intuitivement, les $ X_i$ sont des mesures; par exemple, on mesure la taille de 50 français pour évaluer la taille moyenne des français. L'intérêt des probabilités va être de fournir des bornes sur l'erreur commise par une telle évaluation. On se donne donc $ m=\frac1n (X_1+X_2+...+X_m)$. On cherche $ [a,b]$ tel que $ M=E(X)$ soit compris dans $ [a,b]$. Il faut alors noter que bien entendu, on ne peut être certain que $ M$ soit dans l'intervalle $ [a,b]$, quel que soit l'intervalle que l'on donne, simplement au vu des $ X_i$. Il est toujours possible que l'on ait été particulièrement malchanceux dans les tirages des $ X_i$ et que la moyenne soit très différente de ce que l'on suppose au vu du tirage. On doit donc plutôt donner $ \alpha $ un réel (petit de préférence) et $ z$ tel que avec probabilité $ 1-\alpha $, pour toute loi de $ X_1$, $ \vert m-M\vert \leq z$ soit vrai. $ a$ et $ b$ seront alors $ m-z$ et $ m+z$ respectivement. Concrètement on procède comme suit: $ \bullet\ $On évalue (empiriquement) l'écart type $ \sigma $ de $ X_i$. $ \bullet\ $On repère $ t_\alpha $ tel que $ P(\vert N\vert\leq t_\alpha )= 1-\alpha $, avec $ N$ loi normale centrée réduite (espérance nulle et écart-type $ 1$). Les valeurs de $ t_\alpha $ sont tabulées (il s'agit simplement de la fonction de répartition de la loi normale). Le plus courant est de choisir $ \alpha =0.05$, $ t_\alpha $ étant alors environ égal à $ 2$. $ \bullet\ $On détermine $ a=m-t_a\sigma /\sqrt n$ et $ b=m+t_\alpha \sigma /\sqrt n$. $ \bullet\ $On peut alors écrire que, au seuil de confiance $ \alpha $, $ M$ est compris entre $ a$ et $ b$. Ceci constitue un intervalle de confiance. On peut citer les développements suivants:
  • le cas des petits échantillons ($ n<30$). Il faut alors utiliser la loi de Student.
  • le cas où l'on ne s'intéresse pas à la probabilité pour que la moyenne soit mal évaluée, mais à la probabilité pour que la moyenne soit sur-évaluée. Il suffit de voir pour cela que $ P(N>t)=\frac12 P(\vert N\vert>t)$ pour toute variable aléatoire $ N$ symétrique, et en particulier donc la loi normale.
  • le cas de $ X_i$ à valeur dans $ \{0,1\}$.
  • le cas où l'on n'étudie pas la moyenne des $ X_i$ mais leur $ \max$.
  • le cas de $ X_i$ non réellement indépendants.
  • le cas de $ X_i$ non identiquement distribués.
  • l'évaluation de la loi de $ m$ par la fameuse technique du bootstrap, très ingénieuse.
  • on a fait l'approximation que pour $ n>30$, la distribution était environ celle de la loi normale. On peut se passer de cette approximation, et donner une borne absolue à l'écart à la loi normale.
Ces études et d'autres encore constituent la théorie des tests et font appel à des variantes difficiles du théorème central limite. Les trois premiers points sont utiles pour faire bonne impression à un jury d'agrégation...
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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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