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La tribu des évènements $ \mathcal{A}.$

Les questions qu'on se pose sur le résultat d'une expérience sont systématiquement du type suivant: on choisit un sous ensemble $ A$ de l'espace d'observables $ \Omega$ et on se demande: le résultat $ \omega$ de l'expérience va-t-il tomber dans $ A$ ou non? Les parties de $ \Omega$ pour lesquelles on se pose ce genre de question sont appelées des évènements. Un des premiers points délicats de la théorie est que on ne va pas toujours considérer tous les sous ensembles de $ \Omega$ comme des évènements. Dans l'exemple de la lampe de 100 watts, il parait inintéressant de se demander si sa durée de vie, mesurée en heures, est un nombre irrationnel, et intéressant de se demander si elle tombe dans l'intervalle $ [300, 400].$ L'idée de Kolmogorov est que l'ensemble $ \mathcal{A}$ des évènements a une structure de tribu:

Définition Soit $ \Omega$ un ensemble et soit $ \mathcal{A}$ une partie de $ \mathcal{P}(\Omega)$. $ \mathcal{A}$ a une structure de tribu si il satisfait aux trois axiomes:

  1. Si $ A\in \mathcal{A}$, alors son complémentaire $ A^c=\Omega \setminus A$ est aussi dans $ \mathcal{A}.$
  2. Si on a une suite finie ou dénombrable $ A_1,\ldots,A_n,\ldots$ d'éléments de $ \mathcal{A}$, alors leur réunion $ \bigcup_{n\geq 1}A_n$ est aussi dans $ \mathcal{A}.$
  3. L'ensemble vide $ \emptyset$ est dans $ \mathcal{A}.$
Un élément de $ \mathcal{A}$ est appelé un événement.

Tirons quelques conséquences de ces axiomes.

Proposition 1.1 Soit $ \mathcal{A}$ une tribu de parties de l'ensemble $ \Omega.$ Alors $ \Omega\in \mathcal{A}.$ De plus, si on a une suite finie ou dénombrable $ A_1,\ldots,A_n,\ldots$ d'éléments de $ \mathcal{A}$, alors leur intersection $ \bigcap_{n\geq 1}A_n$ est aussi dans $ \mathcal{A}.$

Démonstration En appliquant les axiomes 1 et 3, on a le premier résultat. Pour le second, il suffit de se rappeler que le complémentaire d'une réunion finie ou infinie d'ensembles est l'intersection des complémentaires ("Loi de Morgan"). Donc

$\displaystyle \bigcap_{n\geq 1}A_n=(\bigcup_{n\geq 1}A^c_n)^c,$

et le deuxième membre de cette égalité est donc dans $ \mathcal{A}:$ on applique successivement l'axiome 1, puis 2, puis 1 à nouveau.


Le langage de la théorie des ensembles permet des calculs systématiques sur les évènements. Toutefois, il faut savoir que le langage courant, que nous utilisons dans une première étape pour décrire des évènements a sa traduction ensembliste. Voici un petit dictionnaire :


 Ensemble $ \Omega$: 		évènement certain

Ensemble vide: évènement impossible
$ A\cup B$: $ A$ ou $ B$ sont réalisés ("ou" non exclusif)
$ A\cap B$: $ A$ et $ B$ sont réalisés
$ A$ et $ B$ sont disjoints: les évènements $ A$ et $ B$ sont incompatibles
$ A^c=\Omega \setminus A$: évènement contraire de $ A.$
$  $

Le fait que on ne sorte pas de la famille des évènements intéressants à considérer en prenant une intersection ou une réunion d'évènements est raisonnable si ceux ci sont en nombre fini. Le fait de se permettre ceci également quand on en a une infinité est plus subtil: les mathématiques ne maniant que des ensembles finis sont élémentaires mais les résultats exacts auquels elles conduisent sont trop compliqués pour être utilisables. Le passage à l'infini est le passage de l'algèbre à l'analyse, donc à des approximations maniables et à de puissantes techniques issues du calcul différentiel et intégral. Quant au fait que dans ce passage à l'infini, on se limite à une infinité dénombrable d'évènements, c'est un point technique qu'on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d'université. Rappelons qu'un ensemble $ E$ avec une infinité d'éléments est dit dénombrable si il existe une bijection entre $ E$ et l'ensemble $ {\bf N}$ des entiers positifs: l'ensemble $ {\bf Q}$ des nombres rationnels est dénombrable, le segment $ [0,1]$ ne l'est pas, comme nous l'avons vu en première année.

Finalement, ce point délicat: "on ne considère pas nécessairement tout sous ensemble $ A$ de $ \Omega$ comme un élément de la tribu $ \mathcal{A}$ des évènements" ne jouera pas un grand rôle dans la suite. Typiquement, nous envisagerons deux cas particuliers importants:

  • Le cas où $ \Omega$ lui même est dénombrable, et nous prendrons comme tribu $ \mathcal{A}$ la famille $ \mathcal{P}(\Omega)$ de tous les sous ensembles de $ \Omega$.
  • Le cas où $ \Omega$ est la droite réelle $ \hbox{I\hskip -2pt R}$. Nous prendrons alors pour tribu $ \mathcal{A}$ la tribu $ \mathcal{B}$ (dite tribu de Borel, dont les éléments sont appelés des boréliens) qui est la plus petite tribu qui contient tous les intervalles de $ \hbox{I\hskip -2pt R}.$

    On peut laborieusement démontrer que $ \mathcal{B}\neq\mathcal{P}(\hbox{I\hskip -2pt R})$; toutefois, une description complète des éléments de $ \mathcal{B}$ n'est pas possible, et en fait pas très utile en pratique: les seuls boréliens que nous aurons à manipuler seront les intervalles (attention, $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ ou une demi droite sont aussi des intervalles) ou des réunions finies, ou plus rarement, dénombrables, d'intervalles.

Ce ne sont pas les seuls espaces de probabilité utilisés: on verra le schéma Succès Echec à la section 2 et le cas $ \Omega=\hbox{I\hskip -2pt R}ý$ ou $ \hbox{I\hskip -2pt R}^n$ plus tard.

Définition La plus petite tribu qui contient les ouverts de $ {\mathbb{R}}$muni de sa topologie canonique est appelée tribu de Borel. Les éléments de cette tribu sont appelés les boréliens de $ {\mathbb{R}}$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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