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La probabilité $ P$

Définition Etant donnés un espace d'observables $ \Omega$ et une tribu d'évènements $ \mathcal{A}$ formée de certains sous ensembles de $ \Omega$, une probabilité $ P$ est une application de $ \mathcal{A}$ dans $ [0,1]$ , donc un procédé qui associe à tout évènement $ A$ un nombre $ P(A)$ compris entre 0 et 1 appelé probabilité de $ A$, et qui satisfait aux axiomes suivants

  • L' évènement certain est de probabilité 1: $ P(\Omega)=1.$
  • Axiome d'additivité dénombrable: pour toute suite $ A_1,A_2,\ldots, A_n\ldots$ d'évènements de $ \mathcal{A}$ qui sont de plus deux à deux disjoints, c'est à dire tels que $ A_k\cap A_j=\emptyset$ si $ k\neq j,$ alors la série

    $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)$

    converge et a pour somme $ P(\bigcup_{k\geq 1}A_k).$

Le triplet $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ est alors appelé un espace de probabilité.

Voici quelques conséquences immédiates des axiomes.

Théorème 1.2 Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Alors

  1. $ P(\emptyset)=0.$

  2. Si $ A_1,A_2,\ldots, A_n$ dans $ \mathcal{A}$ sont deux à deux disjoints, alors

    $\displaystyle P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=P(A_1)+\cdots+P(A_n);$

    en particulier $ P(A^c)=1-P(A).$

  3. Si $ A$ et $ B$ sont dans $ \mathcal{A}$ et si $ A\subset B$ alors $ P(A)\leq P(B).$
$  $

Démonstration

1) L'axiome d'additivité dénombrable est appliquable à la suite constante définie par $ A_n=\emptyset$, qui est effectivement formée d'évènements deux à deux disjoints. La série dont le terme général $ P(\emptyset)$ est constant ne peut converger que si ce terme général est 0.

2) Sa première partie se démontre en appliquant l'axiome d'additivité dénombrable à $ A_1,A_2,\ldots, A_n$ continuée par $ \emptyset=A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots,$ et en utilisant le 1). Appliquer ça à $ n=2$, $ A_1=A$ et $ A_2=A'$ fournit $ 1=P(\Omega)=P(A)+P(A^c)$ en utilisant le premier axiome d'une probabilité.

3) On écrit $ B=A\cup (B\setminus A)$ comme réunion de deux ensembles disjoints (notez que $ B\setminus A=B\cap A'$ est bien dans $ \mathcal{A}),$ et on applique le 2): $ P(B)= P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A).$

Théorème 1.3 Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Alors

  1. Si $ A$ et $ B$ sont dans $ \mathcal{A}$, mais ne sont pas nécessairement disjoints, alors

    $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

    Si les $ A_1,A_2,\ldots, A_n$ dans $ \mathcal{A}$ ne sont pas nécessairement deux à deux disjoints, alors

    $\displaystyle P(A_1\cup \cdots \cup A_n)\leq P(A_1)+\cdots+P(A_n).$

  2. Continuités croissante et décroissante: Soit une suite $ B_1,B_2,\ldots, B_n\ldots$ d'évènements de $ \mathcal{A}$ qui soit ou bien croissante (c'est à dire que pour tout $ n\geq 1$ on a $ B_n\subset B_{n+1}$) ou bien décroissante (c'est à dire que pour tout $ n\geq 1$ on a $ B_n\supset B_{n+1}$). Alors, dans le cas croissant:

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=P(\bigcup_{n\geq 1}B_n);$

    et dans le cas décroissant:

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=P(\bigcap_{n\geq 1}B_n).$

  3. Sous additivité dénombrable: Soit une suite $ B_1,B_2,\ldots, B_n\ldots$ d'évènements de $ \mathcal{A}$. Alors ou bien la série $ \sum_{k=1}^{\infty}P(B_k)$ diverge; ou bien elle converge et dans ce cas sa somme est $ \geq P(\bigcup_{n\geq 1}B_n).$
$  $

Démonstration

  1. On écrit comme dans la démonstration précédente:

    $\displaystyle P(B)= P(A\cap B)+P(B\setminus A),  P(A)= P(A\cap B)+P(A\setminus B),$

    puis on écrit $ A\cup B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)\cup (A\setminus B)$ comme réunion de trois ensembles deux à deux disjoints et on applique le 2):

    $\displaystyle P(A\cup B)=P(A\cap B)+P (B\setminus A)+P(A\setminus B)= $

    $\displaystyle P(A\cap B)+
(P(B)- P(A\cap B))+(P(A)- P(A\cap B))=P(A)+P(B)-P(A\cap B);$

    Pour terminer le 1) on démontre le résultat par récurrence sur $ n$. C'est trivial pour $ n=1.$ Si c'est démontré pour $ n$, appliquons la première partie de ce 1) à $ A=A_1\cup \cdots \cup A_n$ et à $ B=A_{n+1}$. On obtient, à l'aide de l'hypothèse de récurrence

    $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq P(A)+P(B)
\leq (\sum_{k=1}^nP(A_k))+P(A_{n+1}).$

  2. Dans le cas croissant, posons $ A_1=B_1$ et, pour $ n\geq 2$, $ A_n=B_n\setminus B_{n-1}$. Les $ A_1,A_2,\ldots, A_n\ldots$ sont alors deux à deux disjoints. La série $ \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)$ est donc convergente. D'après la partie 2) de la proposition précédente, on a

    $\displaystyle P(B_n)=P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=\sum_{k=1}^nP(A_k)$

    Passons à la limite dans l'égalité ci dessus; on obtient

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=\sum_{k=1}^{\infty}P(A_k).$

    Or d'après l'axiome d'additivité dénombrable, le second membre est $ P(\bigcup_{k\geq 1}A_k)$, qui est aussi par définition des $ A_n$ égal à $ P(\bigcup_{n\geq 1}B_n).$

    Dans le cas décroissant, on se ramène au cas précédent par passage au complémentaires, à l'aide de la loi de Morgan: le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires:

    $\displaystyle \lim P(B_n)=1-\lim P(B_n^c)=1-P(\cup_{n\geq 1}B_n^c)=
1-\left(1-P(\cap_{n\geq 1}B_n)\right)=P(\cap_{n\geq 1}B_n).$

  3. La suite d'évènements définie par $ C_n=B_1\cup \cdots\cup B_n$ est croissante et on peut lui appliquer le 2). En utilisant aussi la sous additivité finie on a donc

    $\displaystyle P(\bigcup_{n\geq 1}B_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}P(C_n)
\leq\lim_{n\rightarrow +\infty}(P(B_1)+\cdots+P(B_n))
=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_k).$

$  $

Exercices sur la section 1.

  1. Soit $ A,B,C$ trois évènements d'un espace de probabilité. Montrer à l'aide du Th. 1.2 ) que

    $\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-
P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C).$

    Etablir une formule de ce genre pour une réunion de 4 évènements.

  2. Soit $ \mathcal{A}$ une tribu d'évènements sur $ \Omega$, et soit $ f$ une fonction positive sur $ \mathcal{A}$ ayant les propriétés suivantes: $ f(\Omega)=1$, $ f(A\cup B)=f(A)+f(B)$ si $ A$ et $ B$ sont des évènements disjoints et , si $ (B_n)$ est une suite décroissante de $ \mathcal{A}$ telle que $ \cap_{n\geq1}B_n=\emptyset$ alors

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}f(B_n)=0.$

    Montrer qu'alors $ f$ est une probabilité. Méthode: si $ (A_n)$ est une suite d'évènements deux à deux disjoints, considérer

    $\displaystyle B_n=\cup_{k\geq n+1}A_k.$

$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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