Définition
Etant donnés un espace d'observables et une tribu d'évènements
formée de certains sous ensembles de ,
une probabilité est une application de
dans , donc
un procédé qui associe à tout évènement un nombre compris entre
0 et 1 appelé probabilité de , et qui satisfait
aux axiomes suivants
Axiome d'additivité dénombrable:
pour toute suite
d'évènements de
qui
sont de plus deux à deux disjoints, c'est à dire tels que
si
alors la série
converge et a pour somme
Le triplet
est alors appelé un espace de
probabilité.
Voici quelques conséquences immédiates des axiomes.
Théorème 1.2 Soit
un espace de
probabilité. Alors
Si
dans
sont deux à deux disjoints,
alors
en particulier
Si et sont dans
et si
alors
Démonstration
1) L'axiome d'additivité dénombrable est appliquable à
la suite constante définie par
, qui est effectivement formée
d'évènements deux à deux disjoints. La série dont le terme général
est constant ne peut converger que si ce terme général est 0.
2) Sa première partie se démontre en appliquant l'axiome d'additivité
dénombrable à
continuée par
et
en utilisant le 1). Appliquer ça à , et fournit
en utilisant le premier axiome d'une probabilité.
3) On écrit
comme réunion de deux ensembles
disjoints (notez que
est bien dans
et on applique le 2):
Théorème 1.3 Soit
un espace de
probabilité. Alors
Si et sont dans
, mais ne sont pas
nécessairement disjoints, alors
Si les
dans
ne sont pas
nécessairement deux à deux disjoints, alors
Continuités croissante et décroissante: Soit une
suite
d'évènements de
qui soit
ou bien croissante (c'est à dire que pour tout on a
) ou bien décroissante (c'est à dire que pour tout on a
). Alors, dans le cas croissant:
et dans le cas décroissant:
Sous additivité dénombrable: Soit une
suite
d'évènements de
. Alors ou
bien la série
diverge; ou bien elle converge
et dans ce cas sa somme est
Démonstration
On écrit comme dans la démonstration précédente:
puis on écrit
comme réunion de trois ensembles deux à deux disjoints et on applique le 2):
Pour terminer le 1) on démontre le résultat par récurrence sur .
C'est trivial pour Si c'est démontré pour , appliquons la première partie
de ce 1) à
et à . On obtient, à l'aide
de l'hypothèse de récurrence
Dans le cas croissant, posons et, pour ,
. Les
sont alors
deux à deux disjoints. La série
est
donc convergente. D'après la partie 2) de la proposition précédente, on a
Passons à la limite dans l'égalité ci dessus; on obtient
Or d'après l'axiome d'additivité dénombrable, le second membre est
, qui est aussi par définition des égal à
Dans le cas décroissant, on se ramène au cas précédent par passage au
complémentaires, à l'aide de la loi de Morgan: le complémentaire
d'une union est l'intersection des complémentaires:
La suite d'évènements définie par
est
croissante et on peut lui appliquer le 2). En utilisant aussi la sous additivité
finie on a donc
Exercices sur la section 1.
Soit trois évènements d'un espace de probabilité. Montrer à
l'aide du Th. 1.2 ) que
Etablir une formule de ce genre pour une réunion de 4 évènements.
Soit
une tribu d'évènements sur , et soit une fonction
positive sur
ayant les propriétés suivantes:
,
si et sont des évènements disjoints et ,
si est une suite décroissante de
telle que
alors
Montrer qu'alors est une probabilité. Méthode: si est
une suite d'évènements deux à deux disjoints, considérer