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L'espace $ \Omega$ est fini ou dénombrable.

Dans ce cas on suppose habituellement que la tribu des évènements $ \mathcal{A}$ est $ \mathcal{P}(\Omega)$, l'ensemble de toutes les parties de $ \Omega.$ Par exemple, si $ \Omega$ est formé de 2 éléments notés $ a$ et $ b$, alors $ \mathcal{P}(\Omega)$ est constitué des 4 sous ensembles suivants: l'ensemble vide $ \emptyset,$ les deux singletons $ \{a\}$ et $ \{b\}$ et $ \Omega=\{a,b\}$ lui même. Plus généralement, on a le fait suivant:

Proposition 2.1 Si un ensemble $ \Omega$ a un nombre fini $ N$ d'éléments, alors l'ensemble des parties de $ \Omega$: $ \mathcal{P}(\Omega)$ a $ 2^N$ éléments.

Démonstration On procède par récurrence sur $ N$. C'est trivial pour $ N=1$ ou 0. Si c'est vrai pour $ N$, considérons

$\displaystyle \Omega=\{a_1,\ldots,a_N,a_{N+1}\}   \mathrm{et}  \
\Omega'=\{a_1,\ldots,a_N\}.$

Les parties de $ \Omega$ se partagent en deux catégories:

Catégorie 1: celles qui ne contiennent pas $ a_{N+1}$.

Catégorie 2: celles qui contiennent $ a_{N+1}$.

Il est clair que la catégorie 1 est égale à $ \mathcal{P}(\Omega')$ et que la catégorie 2 est en bijection avec $ \mathcal{P}(\Omega')$, la bijection étant obtenue en ajoutant $ a_{N+1}$ aux éléments de $ \mathcal{P}(\Omega').$ Comme d'après l'hypothèse de récurrence $ \mathcal{P}(\Omega')$ a $ 2^N$ éléments, on en conclut que $ \mathcal{P}(\Omega)$ a $ 2^N+2^N=2^{N+1}$ éléments, et la récurrence est étendue.

Proposition 2.2 Si $ \Omega$ est infini dénombrable, alors $ \mathcal{P}(\Omega)$ est infini non dénombrable.

Démonstration La démonstration est analogue à la démonstration de Cantor. Sans perte de généralité on suppose $ \Omega$ égal à l'ensemble $ {\bf N}$ des entiers positifs ou nuls. Si $ X\subset {\bf N},$ on lui associe la fonction indicatrice $ {\bf 1}_X$ définie sur $ {\bf N}$ et à valeurs 0 ou $ 1$ par $ {\bf 1}_X(k)=1$ si $ k\in X$ et $ {\bf 1}_X(k)=0$ si $ k\notin X.$ Remarquons aussi qu'inversement, si une fonction $ f$ définie sur $ {\bf N}$ est à valeurs 0 ou $ 1$, alors c'est une indicatrice d'ensemble, c'est-à-dire qu'il existe $ X$ tel que $ f={\bf 1}_X$: il s'agit de $ X= \{k\in{\bf N};f(k)=1\}.$

Montrons alors la proposition par l'absurde en supposant que $ \mathcal{P}({\bf N})$ soit dénombrable, c'est-à-dire qu'il existe une application bijective $ n\mapsto X_n$ de $ {\bf N}$ sur $ \mathcal{P}({\bf N}).$ Alors la fonction $ f$ définie sur $ {\bf N}$ et à valeurs 0 ou $ 1$ par

$\displaystyle f(k)=1-{\bf 1}_{X_k}(k)$

est l'indicateur de quelque sous ensemble $ X_n$ de $ {\bf N}$ et donc pour tout $ k$ de $ {\bf N}$ on a

$\displaystyle {\bf 1}_{X_n}(k)=1-{\bf 1}_{X_k}(k),$

ce qui est une contradiction si $ k=n.$

Les probabilités sont alors décrites par le résultat suivant

Proposition 2.3 Soit $ \Omega$ un ensemble fini ou dénombrable. Soit $ x\mapsto p_x$ une application de $ \Omega$ dans les réels $ \geq 0$ telle que

$\displaystyle \sum_{x \in \Omega} p_x=1.$

Pour tout $ A\subset \Omega$, notons alors

$\displaystyle P(A)=\sum_{x \in A} p_x.$

Alors $ (\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)$ est un espace de probabilité. Inversement, toute probabilité $ P$ sur $ (\Omega,\mathcal{P}(\Omega))$ est du type précédent, avec $ p_x=P(\{x\}).$

Remarque Si $ \Omega$ est fini, la proposition est évidente. Si $ \Omega$ est dénombrable, les sommes ci dessus quand $ A$ est dénombrable ont la signification suivante: puisque $ A$ est dénombrable, on peut numéroter ses éléments, c'est-à-dire qu'il existe une application bijective $ n\mapsto x_n$ de $ {\bf N}$ sur $ A$. $ P(A)$ est alors défini rigoureusement comme la somme de la série $ \sum_{n=0}^{\infty}p_{x_n}.$ Toutefois, ce nombre ne dépend que de $ A$, et non de la numérotation particulière de $ A$ choisie par $ n\mapsto x_n$, grƒce au théorème suivant sur les séries, que nous admettrons, ainsi que la proposition elle même:

Théorème 2.4 Si la série $ \sum _{n=0}^{\infty}u_n$ est absolument convergente de somme $ S$, et si $ n\mapsto \sigma(n)$ est une bijection de $ {\bf N}$ sur lui même, alors $ \sum _{n=0}^{\infty}u_{\sigma(n)}$ est aussi absolument convergente et de somme $ S.$

Exercices sur 2.1.

  1. Soit $ \lambda>0.$ Soit $ P$ la probabilité définie sur $ ({\bf N},\mathcal{P}({\bf N}))$ par

    $\displaystyle P(\{n\})=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}.$

    Soit $ A$ l'ensemble des nombres pairs. Calculer $ P(A).$ Soit $ N$ un entier, montrer que

    $\displaystyle P(\{0,1,\ldots,N\})=1-\int_0^{\lambda}e^{-t}\frac{t^N}{N!}dt$

    (Méthode: considérer les deux membres comme des fonctions de $ \lambda$ dont on montrera qu'elles ont même valeur pour $ \lambda=0$ et même dérivée).
  2. Soit $ P$ la probabilité définie sur $ ({\bf N^*},\mathcal{P}({\bf N^*}))$ par $ P(\{n\})= 2^{-n}.$ Calculer la probabilité de tirer un nombre $ n>3$; un nombre $ n$ multiple de 3; un nombre dont le reste est 3 si on le divise par 4.
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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