Dans ce cas on suppose habituellement que la tribu des
évènements
est
,
l'ensemble de toutes les parties de Par exemple, si
est formé de 2 éléments notés et , alors
est constitué des 4 sous ensembles suivants:
l'ensemble vide
les deux singletons
et et
lui même.
Plus généralement, on a le fait
suivant:
Proposition 2.1 Si un ensemble a un nombre fini
d'éléments, alors l'ensemble des parties de :
a éléments.
Démonstration On procède par récurrence sur . C'est trivial pour
ou 0. Si c'est vrai pour , considérons
Les parties de se partagent en deux catégories:
Catégorie 1: celles qui ne contiennent pas .
Catégorie 2: celles qui contiennent .
Il est clair que la catégorie 1 est égale à
et que la catégorie 2 est en bijection avec
,
la bijection étant obtenue en ajoutant aux éléments de
Comme d'après l'hypothèse de récurrence
a éléments, on en conclut que
a
éléments, et la récurrence
est étendue.
Proposition 2.2 Si est infini dénombrable,
alors
est infini non dénombrable.
Démonstration La démonstration est analogue à la démonstration
de Cantor. Sans perte de généralité on suppose égal à l'ensemble
des entiers positifs ou nuls. Si
on lui associe
la fonction indicatrice définie sur
et à valeurs 0 ou par
si et
si
Remarquons aussi qu'inversement,
si une fonction définie sur
est à valeurs 0 ou , alors c'est une indicatrice d'ensemble,
c'est-à-dire qu'il existe tel que
: il s'agit de
Montrons alors la proposition par l'absurde en supposant que
soit dénombrable, c'est-à-dire qu'il existe une
application bijective
de sur
Alors la fonction définie sur
et à valeurs 0 ou par
est l'indicateur de quelque sous ensemble de et
donc pour tout de on a
ce qui est une contradiction si
Les probabilités sont alors décrites par le résultat suivant
Proposition 2.3 Soit un ensemble fini ou dénombrable.
Soit
une application de dans les réels
telle que
Pour tout
, notons alors
Alors
est un espace de probabilité.
Inversement, toute probabilité sur
est du type précédent, avec
Remarque Si est fini, la proposition est évidente.
Si est dénombrable, les sommes ci dessus quand est
dénombrable ont la signification suivante: puisque est
dénombrable, on peut numéroter ses éléments, c'est-à-dire qu'il existe
une application bijective
de sur .
est alors défini rigoureusement comme la somme de la série
Toutefois, ce nombre ne dépend que de , et non
de la numérotation particulière de choisie par
, grce au
théorème suivant sur les séries, que nous admettrons,
ainsi que la proposition elle même:
Théorème 2.4 Si la série
est absolument
convergente de somme , et si
est une bijection de
sur lui même, alors
est aussi
absolument convergente et de somme
Exercices sur 2.1.
Soit
Soit la probabilité définie sur
par
Soit l'ensemble des nombres pairs. Calculer Soit un entier,
montrer que
(Méthode: considérer les deux membres comme des fonctions de
dont on montrera qu'elles ont même valeur pour et même dérivée).
Soit la probabilité définie sur
par
Calculer la
probabilité de tirer un nombre ; un nombre multiple de 3; un nombre
dont le reste est 3 si on le divise par 4.