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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

L'espace est fini ou dénombrable.

suivant: Le cas équiprobable. monter: epb précédent: epb

L'espace $\Omega$ est fini ou dénombrable.

Dans ce cas on suppose habituellement que la tribu des évènements $\mathcal{A}$ est $\mathcal{P}(\Omega)$ , l'ensemble de toutes les parties de $\Omega.$ Par exemple, si $\Omega$ est formé de 2 éléments notés et , alors $\mathcal{P}(\Omega)$ est constitué des 4 sous ensembles suivants: l'ensemble vide $\emptyset,$ les deux singletons $\{a\}$ et $\{b\}$ et $\Omega=\{a,b\}$ lui même. Plus généralement, on a le fait suivant:

Proposition 2.1 Si un ensemble $\Omega$ a un nombre fini d'éléments, alors l'ensemble des parties de $\Omega$ : $\mathcal{P}(\Omega)$ a éléments.

Démonstration On procède par récurrence sur . C'est trivial pour ou 0. Si c'est vrai pour , considérons

$\displaystyle \Omega=\{a_1,\ldots,a_N,a_{N+1}\} \mathrm{et} \ \Omega'=\{a_1,\ldots,a_N\}.$

Les parties de $\Omega$ se partagent en deux catégories:

Catégorie 1: celles qui ne contiennent pas $a_{N+1}$ .

Catégorie 2: celles qui contiennent $a_{N+1}$ .

Il est clair que la catégorie 1 est égale à $\mathcal{P}(\Omega')$ et que la catégorie 2 est en bijection avec $\mathcal{P}(\Omega')$ , la bijection étant obtenue en ajoutant $a_{N+1}$ aux éléments de $\mathcal{P}(\Omega').$ Comme d'après l'hypothèse de récurrence $\mathcal{P}(\Omega')$ a éléments, on en conclut que $\mathcal{P}(\Omega)$ a $2^N+2^N=2^{N+1}$ éléments, et la récurrence est étendue.

Proposition 2.2 Si $\Omega$ est infini dénombrable, alors $\mathcal{P}(\Omega)$ est infini non dénombrable.

Démonstration La démonstration est analogue à la démonstration de Cantor. Sans perte de généralité on suppose $\Omega$ égal à l'ensemble ${\bf N}$ des entiers positifs ou nuls. Si $X\subset {\bf N},$ on lui associe la fonction indicatrice ${\bf 1}_X$ définie sur ${\bf N}$ et à valeurs 0 ou par ${\bf 1}_X(k)=1$ si $k\in X$ et ${\bf 1}_X(k)=0$ si $k\notin X.$ Remarquons aussi qu'inversement, si une fonction définie sur ${\bf N}$ est à valeurs 0 ou , alors c'est une indicatrice d'ensemble, c'est-à-dire qu'il existe tel que $f={\bf 1}_X$ : il s'agit de $X= \{k\in{\bf N};f(k)=1\}.$

Montrons alors la proposition par l'absurde en supposant que $\mathcal{P}({\bf N})$ soit dénombrable, c'est-à-dire qu'il existe une application bijective $n\mapsto X_n$ de ${\bf N}$ sur $\mathcal{P}({\bf N}).$ Alors la fonction définie sur ${\bf N}$ et à valeurs 0 ou par

$\displaystyle f(k)=1-{\bf 1}_{X_k}(k)$

est l'indicateur de quelque sous ensemble

de ${\bf N}$ et donc pour tout

de ${\bf N}$ on a

$\displaystyle {\bf 1}_{X_n}(k)=1-{\bf 1}_{X_k}(k),$

ce qui est une contradiction si

Les probabilités sont alors décrites par le résultat suivant

Proposition 2.3 Soit $\Omega$ un ensemble fini ou dénombrable. Soit $x\mapsto p_x$ une application de $\Omega$ dans les réels $\geq 0$ telle que

$\displaystyle \sum_{x \in \Omega} p_x=1.$

Pour tout $A\subset \Omega$ , notons alors

$\displaystyle P(A)=\sum_{x \in A} p_x.$

Alors $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)$ est un espace de probabilité. Inversement, toute probabilité sur $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))$ est du type précédent, avec $p_x=P(\{x\}).$

Remarque Si $\Omega$ est fini, la proposition est évidente. Si $\Omega$ est dénombrable, les sommes ci dessus quand est dénombrable ont la signification suivante: puisque est dénombrable, on peut numéroter ses éléments, c'est-à-dire qu'il existe une application bijective $n\mapsto x_n$ de ${\bf N}$ sur . est alors défini rigoureusement comme la somme de la série $\sum_{n=0}^{\infty}p_{x_n}.$ Toutefois, ce nombre ne dépend que de , et non de la numérotation particulière de choisie par $n\mapsto x_n$ , grce au théorème suivant sur les séries, que nous admettrons, ainsi que la proposition elle même:

Théorème 2.4 Si la série $\sum _{n=0}^{\infty}u_n$ est absolument convergente de somme , et si $n\mapsto \sigma(n)$ est une bijection de ${\bf N}$ sur lui même, alors $\sum _{n=0}^{\infty}u_{\sigma(n)}$ est aussi absolument convergente et de somme

Exercices sur 2.1.

Soit $\lambda>0.$ Soit la probabilité définie sur $({\bf N},\mathcal{P}({\bf N}))$ par

$\displaystyle P(\{n\})=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}.$
Soit l'ensemble des nombres pairs. Calculer Soit un entier, montrer que

$\displaystyle P(\{0,1,\ldots,N\})=1-\int_0^{\lambda}e^{-t}\frac{t^N}{N!}dt$
(Méthode: considérer les deux membres comme des fonctions de $\lambda$ dont on montrera qu'elles ont même valeur pour $\lambda=0$ et même dérivée).
Soit la probabilité définie sur $({\bf N^*},\mathcal{P}({\bf N^*}))$ par $P(\{n\})= 2^{-n}.$ Calculer la probabilité de tirer un nombre ; un nombre multiple de 3; un nombre dont le reste est 3 si on le divise par 4.