Le schéma Succès-Echec fini. Si une expérience a deux issues,
arbitrairement notées succès et échec et si on la répète fois,
ce qu'on observe est une suite de longueur de et de Pour modéliser
cela, on introduit l'espace des observables formé des
suites
où les
sont égaux à ou . On munit de la tribu
. Quant à la probabilité, on se fixe un nombre tel que
qui est la probabilité d'un succès si on n'effectue qu'une fois
l'expérience. Introduisons alors l'importante quantité définie ainsi:
si
alors désigne le nombre
de succès que comprend la suite Par exemple, ,
Pour
tel que
on définit alors
Comme tout évènement
est réunion de singletons
deux à deux disjoints, cela suffit à définir et donc la probablité sur
Parmi ces évènements, les plus importants sont les ( ceci est une
sténographie que nous utiliserons souvent pour écrire brièvement l'évènement
). Voici leur probabilité:
Proposition 2.9 Pour le schéma Succès Echec finiassocié à la
probabilité d'un succès, si est le nombre de succès en expériences, alors
Démonstration Notons
. Définissons
l'application de dans
par
Il est clair que c'est une bijection;
donc d'après le Théorème 2.5 b), . Enfin puisque tous les
contenus dans ont la même probabilité
on obtient
Le schéma Succès-Echec infini. Il s'agit ensuite de modéliser le cas
où on veut effectuer un nombre arbitraire d'expériences: par exemple on peut
vouloir répéter les essais jusqu'à ce qu'apparaisse 4 succès consécutifs.
Une telle modélisation est impossible avec le schéma fini ci dessus,
et on prend alors pour espace des observablesl'ensemble
des suites infinies de et de , en notant par
l'ensemble des entiers Il est clair que est
en bijection avec les parties de , et donc d'après
la proposition 2.2 n'est pas dénombrable. Cela cause une sérieuse difficulté en ce qui concerne
la construction de l'espace de probabilité correspondant. On construit la tribu
et la probabilité par un procédé d'approximation que nous
décrivons maintenant.
Fixons l'entier et définissons
et
, de sorte que
, et définissons la tribu suivante de parties
de
Intuitivement, les évènements de
sont les évènements ne dépendant que de ce qui
s'est passé jusqu'à l'instant En particulier, nous avons
Si
comprend succès,
définissons la probabilité
Cela permet donc de définir la probabilité sur
L'espace de probabilité
est presque identique
à l'espace du schéma Succès Echec fini décrit ci dessus.
Maintenant, notons
La famille
n'est pas une tribu, car ce n'est pas fermé pour la réunion dénombrable. Voici
un contre exemple. Soit l'ensemble des suites infinies comprenant
au moins un succès à l'instant ou avant. Alors est dans
et donc
dans
Pourtant
n'est pas dans
En effet est l'ensemble
des suites infinies comprenant au moins un succès. Mais il n'existe
pourtant aucun tel que
, et donc
Réaliser
cette chose subtile fait progresser dans la compréhension de la théorie.
On définit alors la tribu
sur comme la plus
petite tribu contenant
.
Pour définir enfin la probabilité sur
, on fait l'observation
essentielle suivante: on a non seulement
mais de plus la restriction de
au sous ensemble
de
qui était
le domaine de définition de , coincide avec Par conséquent, il existe
une fonction universelle définie sur
telle que pour tout
on ait
pour tous les tels que
A partir de ce point, les choses cessent d'être élémentaires,
et nous sommes obligés d'admettre le théorème suivant, dont la démonstration
est donnée en troisième année d'université:
Théorème 2.10 Il existe une et une seule probabilité sur
telle que
pour tout
on ait
On peut ainsi démontrer l'idée intuitive qu'un évènement de
probabilité strictement positive, même petite, finit
toujours par arriver. Plus précisément, si est l'ensemble des
comprenant au moins un succès, alors En effet,
si est l'ensemble des
comprenant au moins un succès avant l'instant ou à l'instant
, alors
et
Par continuité monotone
(Th. 1.3, (2)) on a donc
Comme
tend vers 0,
on a le résultat. Plus généralement on peut montrer que toute séquence finie donnée à
l'avance ( par exemple SSEESSEESSEESSEE, ou le codage en binaire d'une fable de La
Fontaine) finira par arriver. Plus précisément:
Théorème 2.11 Soit
une suite
fixée de longueur de succès et d'échecs, et soit
Alors
Démonstration Soit le nombre de dans la suite . Notons