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Le schéma Succès-Echec.

suivant: Le cas où monter: epb précédent: Le cas équiprobable.

Le schéma Succès-Echec.

Le schéma Succès-Echec fini. Si une expérience a deux issues, arbitrairement notées succès et échec et si on la répète fois, ce qu'on observe est une suite de longueur de et de Pour modéliser cela, on introduit l'espace des observables $\Omega=\{E,S\}^n$ formé des suites $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ où les $\omega_j$ sont égaux à ou . On munit $\Omega$ de la tribu $\mathcal{P}(\Omega)$ . Quant à la probabilité, on se fixe un nombre tel que qui est la probabilité d'un succès si on n'effectue qu'une fois l'expérience. Introduisons alors l'importante quantité définie ainsi: si $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)\in \Omega$ alors désigne le nombre de succès que comprend la suite $\omega.$ Par exemple, , Pour $\omega\in \Omega$ tel que $X(\omega)=k$ on définit alors $P(\{ \omega\})=p^k(1-p)^{n-k};$ Comme tout évènement $A\in \mathcal{P}(\Omega)$ est réunion de singletons $\{ \omega\}$ deux à deux disjoints, cela suffit à définir et donc la probablité sur $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega)).$

Parmi ces évènements, les plus importants sont les $\{X=k\}$ ( ceci est une sténographie que nous utiliserons souvent pour écrire brièvement l'évènement $\{\omega\in \Omega ; X(\omega)=k\}$ ). Voici leur probabilité:

Proposition 2.9 Pour le schéma Succès Echec finiassocié à la probabilité d'un succès, si est le nombre de succès en expériences, alors

$\displaystyle P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}.$

Démonstration Notons $A=\{\omega\in \Omega ; X(\omega)=k\}$ . Définissons l'application de dans $\mathcal{P}_k(\{1,2,\ldots,n\})$ par $\omega\mapsto \{j ; \omega_j=S\}.$ Il est clair que c'est une bijection; donc d'après le Théorème 2.5 b), $\vert A\vert=C_n^k$ . Enfin puisque tous les $\{ \omega\}$ contenus dans ont la même probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ on obtient

$\displaystyle P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{ \omega\})= \vert A\vert p^k(1-p)^{n-k}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}.$

Le schéma Succès-Echec infini. Il s'agit ensuite de modéliser le cas où on veut effectuer un nombre arbitraire d'expériences: par exemple on peut vouloir répéter les essais jusqu'à ce qu'apparaisse 4 succès consécutifs. Une telle modélisation est impossible avec le schéma fini ci dessus, et on prend alors pour espace $\Omega$ des observablesl'ensemble $\{E,S\}^{{\bf N^*}}$ des suites infinies de et de , en notant par ${\bf N^*}$ l'ensemble des entiers Il est clair que $\Omega$ est en bijection avec les parties de ${\bf N^*}$ , et donc d'après la proposition 2.2 $\Omega$ n'est pas dénombrable. Cela cause une sérieuse difficulté en ce qui concerne la construction de l'espace de probabilité correspondant. On construit la tribu $\mathcal{A}$ et la probabilité par un procédé d'approximation que nous décrivons maintenant.

Fixons l'entier et définissons $\Omega'=\{E,S\}^{\{1,\ldots,n\}}$ et $\Omega''=\{E,S\}^{\{n+1,n+2,\ldots\}}$ , de sorte que $\Omega=\Omega'\times\Omega''$ , et définissons la tribu suivante de parties de $\Omega:$

$\displaystyle \mathcal{A}_n=\{A\times \Omega'' ; A\in \mathcal{P}(\Omega')\} .$

Intuitivement, les évènements de $\mathcal{A}_n$ sont les évènements ne dépendant que de ce qui s'est passé jusqu'à l'instant

En particulier, nous avons $\mathcal{A}_n\subset \mathcal{A}_{n+1}.$

Si $\omega'=(\omega_1,\dots,\omega_n)\in \Omega'$ comprend succès, définissons la probabilité $P_n(\{\omega'\}\times \Omega'')=p^k(1-p)^{n-k}.$ Cela permet donc de définir la probabilité sur $\mathcal{A}_n.$ L'espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A}_n, P_n)$ est presque identique à l'espace du schéma Succès Echec fini décrit ci dessus.

Maintenant, notons

$\displaystyle \mathcal{A}'=\cup_{n\geq 1}\mathcal{A}_n.$

La famille $\mathcal{A}'$ n'est pas une tribu, car ce n'est pas fermé pour la réunion dénombrable. Voici un contre exemple. Soit l'ensemble des suites $\omega$ infinies comprenant au moins un succès à l'instant ou avant. Alors est dans $\mathcal{A}_n$ et donc dans $\mathcal{A}'.$ Pourtant $A=\cup_{n\geq 1} A_n$ n'est pas dans $\mathcal{A}'.$ En effet est l'ensemble des suites $\omega$ infinies comprenant au moins un succès. Mais il n'existe pourtant aucun tel que $A\in \mathcal{A}_n$ , et donc $A\notin \mathcal{A}'.$ Réaliser cette chose subtile fait progresser dans la compréhension de la théorie. On définit alors la tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ comme la plus petite tribu contenant $\mathcal{A}'$ .

Pour définir enfin la probabilité sur $\mathcal{A}$ , on fait l'observation essentielle suivante: on a non seulement $\mathcal{A}_n\subset \mathcal{A}_{n+1},$ mais de plus la restriction de $P_{n+1}$ au sous ensemble $\mathcal{A}_n$ de $\mathcal{A}_{n+1},$ qui était le domaine de définition de $P_{n+1}$ , coincide avec Par conséquent, il existe une fonction universelle définie sur $\mathcal{A}'$ telle que pour tout $A\in \mathcal{A}'$ on ait pour tous les tels que $A\in \mathcal{A}_n.$ A partir de ce point, les choses cessent d'être élémentaires, et nous sommes obligés d'admettre le théorème suivant, dont la démonstration est donnée en troisième année d'université:

Théorème 2.10 Il existe une et une seule probabilité sur $\mathcal{A}$ telle que pour tout $A\in \mathcal{A}'$ on ait

On peut ainsi démontrer l'idée intuitive qu'un évènement de probabilité strictement positive, même petite, finit toujours par arriver. Plus précisément, si est l'ensemble des $\omega\in \Omega$ comprenant au moins un succès, alors En effet, si est l'ensemble des $\omega\in \Omega$ comprenant au moins un succès avant l'instant ou à l'instant , alors $A=\cup_{n\geq 1}B_n$ et $B_n\subset B_{n+1}.$ Par continuité monotone (Th. 1.3, (2)) on a donc $\lim P(B_n)=P(A).$ Comme tend vers 0, on a le résultat. Plus généralement on peut montrer que toute séquence finie donnée à l'avance ( par exemple SSEESSEESSEESSEE, ou le codage en binaire d'une fable de La Fontaine) finira par arriver. Plus précisément: