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Le cas où $ \Omega=\hbox{I\hskip -2pt R}.$

Ce cas est naturellement le plus important de tous. La tribu mise sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ est la tribu de Borel $ \mathcal{B}$ définie à la section 1 comme la plus petite tribu contenant les intervalles (ouverts, fermés, semi ouverts, demi droites) Parmi ses éléments, les boréliens, les seuls qu'on aura concrètement à manipuler sont les réunions d'intervalles.

Pour décrire les probabilités sur $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$, introduisons une définition importante:

Définition Soit $ F$ une fonction de $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}.$ On dit que $ F$ est une fonction de répartition si elle satisfait aux trois propriétés suivantes:

  • $ F$ est croissante (au sens large);
  • $ \lim_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0$ et $ \lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1;$
  • $ F$ est continue à droite en tout point $ x$, c'est-à-dire $ \lim_{h\searrow 0}F(x+h)=F(x).$
$  $

On a alors le théorème fondamental suivant:

Théorème 2.12 Soit $ P$ une probabilité sur $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$. Soit $ F_P$ la fonction réelle définie par

$\displaystyle F_P(x)=P(]-\infty,x]).$

Alors $ F_P$ est une fonction de répartition. Inversement, si $ F$ est une fonction de répartition, alors il existe une et une seule probabilité sur $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$ telle que $ F_P=F.$

Démonstration Si $ x<y$, alors $ A=]-\infty,x]\subset B=]-\infty,y],$ et donc $ F_P(x)=P(A)\leq P(B)=F_P(y).$ Ensuite, si $ (x_n)$ tend vers $ -\infty$ en décroissant et si $ A_n=]-\infty,x_n],$ alors $ A_n\supset A_{n+1}$ et $ \cap_{n\geq 1}A_n=\emptyset;$ par continuité monotone $ P(A_n)$ tend vers 0. Donc $ \lim_{n\rightarrow \infty}F_P(x_n)=0$. Comme ceci est vrai quelle que soit la suite $ (x_n)$ tendant vers $ -\infty$ en décroissant, on en déduit $ \lim_{x\rightarrow -\infty}F_P(x)=0.$ De même, si $ (y_n)$ tend vers $ \infty$ en croissant et si $ B_n=]-\infty,y_n],$ alors $ B_n\subset B_{n+1}$ et $ \cup_{n\geq 1}B_n=\hbox{I\hskip -2pt R};$ par continuité monotone $ P(B_n)$ tend vers $ P(\hbox{I\hskip -2pt R})=1$ et on a $ \lim_{y\rightarrow +\infty}F_P(y)=1.$

Enfin, si $ h_n\searrow 0$, soit $ C_n=]\infty,x+h_n].$ Alors $ C_n\supset C_{n+1}$ et $ \cap_{n\geq 1}C_n=]\infty,x].$ Par continuité monotone on a donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty}F(x+h_n)=F_P(x),$ d'où la continuité à droite annoncée de la fonction $ F_P.$

Nous admettrons la réciproque, qui est la partie difficile.

Commentaires: Ce résultat est assez rassurant: bien qu'on connaisse mal la tribu $ \mathcal{B}$, et donc les probabilités définies dessus, il y a en fait bijection entre l'ensemble de toutes les probabilités sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ et l'ensemble moins abstrait de toutes les fonctions de répartition. Mais la démonstration complète est réservée à la 3 ème année.

La fonction de répartition permet de calculer les probabilités de tous les intervalles. Pour simplifier, adoptons la notation pour la limite à gauche en $ x$ de la fonction croissante $ F$:

$\displaystyle F(x-0)=\lim_{h\nearrow 0}F(x+h).$


Proposition 2.13 Soit $ F$ la fonction de répartition d'une probabilité $ P$ sur $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$. Alors

  • $ P(]-\infty,x[)=F(x-0)$, $ P(]x,+\infty[)=1-F(x),$ $ P([x,+\infty[)=1-F(x-0).$
  • Pour $ a\leq b,$ $ P(]a,b])=F(b)-F(a),$ $ P([a,b[)=F(b-0)-F(a-0).$

  • $ P(]a,b[)=F(b-0)-F(a)$, $ P([a,b])=F(b)-F(a-0)$ et en particulier

    $\displaystyle P(\{a\})=F(a)-F(a-0).$

$  $

Démonstration La première égalité s'obtient en considérant $ A_n=]-\infty,x+h_n],$$ h_n$ est $ <0$ et croŒt vers $ 0.$ Alors $ A_n\subset A_{n+1}$ et $ \cup_{n\geq 1}A_n=]-\infty,x[.$ Par convergence monotone l'égalité s'ensuit. Les deux suivantes s'obtiennent par passage au complémentaire. La suivante découle de l'égalité

$\displaystyle ]-\infty,b]=]-\infty,a]\cup]a,b],$

et du fait que au second membre les deux ensembles sont disjoints. De même

$\displaystyle ]-\infty,b[=]-\infty,a[\cup[a,b[$

fournit l'égalité suivante grâce à la première égalité de la liste. Laissons les dernières en exercice.

Donnons maintenant des exemples de fonctions de répartition

Définition Fonctions de répartition à densité. Soit $ f$ une fonction positive définie sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ qui ait des discontinuités au plus en un nombre fini de points $ a_1<a_2<\cdots<a_N$ et qui soit telle que les intégrales $ \int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx$ convergent et satisfassent

$\displaystyle \sum_{i=0}^N\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx=1,$

avec la convention $ a_0=-\infty$ et $ a_{N+1}=+\infty.$

On définit alors la fonction $ F$ par $ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt.$ Il est clair que $ F$ est une fonction de répartition. Ici, elle est de plus continue et, d'après le théorème fondamental du calcul intégral, elle satisfait $ F'(x)=f(x)$ pour tout $ x\notin \{a_1,\ldots ,a_N\}$. La fonction $ f$ s'appelle alors la densité de la fonction de répartition $ F$.

Par exemple $ f_1(x)=\frac{1}{2}e^{-\vert x\vert}$, $ f_2(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+xý},$ $ f_3(x)=0$ si $ x\leq 0$ et $ f_3(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi x}}e^{-x}$ si $ x>0$, qu'il est plus rapide de définir par

$\displaystyle f_3(x)= \frac{1}{\sqrt {\pi x}}e^{-x}{\bf 1}_{]0,\infty[}(x),$

$ {\bf 1}_E(x)=1$ si $ x\in E$ et $ {\bf 1}_E(x)=0$ sinon: la fonction $ {\bf 1}_E$ s'appellera désormais l'indicateur de l'ensemble E. Dernier exemple:

$\displaystyle f_4(x)={\bf 1}_{[0,1]}(x).$

Dans ces exemples, $ N=0$ pour $ f_1$ et $ f_2$, $ N=1$ pour $ f_3$ et $ N=2$ pour $ f_4.$

Il est important de ne pas confondre les deux fonctions $ F$ et $ f$. Pour les exemples ci dessus de densités, les fonctions de répartition correspondantes seront respectivement

$\displaystyle F_1(x)=\frac{1}{2}e^{x} \mathrm{pour} x\leq 0,
 F_1(x)=1-\frac{1}{2}e^{-x},$

$\displaystyle F_2(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan x,$

$\displaystyle F_4(x)=0 \mathrm{pour} x\leq 0,\
F_4(x)=x  \mathrm{pour} 0\leq x\leq 1,
 F_4(x)=1 \mathrm{pour} 1\leq x,$

($ F_3(x)$ ne peut s'exprimer de façon élémentaire).

Définition La probabilité $ \delta_a$ de Dirac. Si $ a$ est un réel, il s'agit de la probabilité sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ définie par $ \delta_a(A)=0$ si $ a\notin A,$ et $ \delta_a(A)=1$ si $ a\in A.$ Appliquant ceci à $ A=]-\infty,x]$, on obtient la fonction de répartition

$\displaystyle F_{\delta_a}(x)=0 \mathrm{pour} x<a,
 F_{\delta_a}(x)=1 \mathrm{pour} a\leq x.$

$  $

Voici son graphe


\begin{picture}(10,3.5)(-5,0)
\thinlines\put (3,0){\vector(1,0){6}}
\put (0,0)...
...ne(1,0){6}}
\put (-2,0){\line(1,0){5}}
\put (3,2){\circle*{0.2}}
\end{picture}


Si $ a=0$, cette fonction s'appelle l'échelon de Heaviside. Les travaux de 1894 de cet ingénieur électricien sont à la source de la théorie moderne des distributions. Cette théorie permet par exemple de donner un sens à la dérivation de la fonction ci dessus: c'est la probabilité de Dirac $ \delta_a$ qui jouerait alors le rôle de la dérivée.

Définition Probabilité discrète sur un nombre fini de points. Soit $ N$ un entier $ >0$, soit $ a_1<a_2<\cdots<a_N$ des réels et soit $ p_1,\ldots,p_N$ des nombres positifs tels que $ p_1+\cdots+p_N=1.$ On considère la probabilité sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ définie par

$\displaystyle P=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N}.$

En d'autres termes, si $ A$ est un borélien:

$\displaystyle P(A)=p_1\delta_{a_1}(A)+\cdots+p_N\delta_{a_N}(A)=\sum_{j;a_j\in A}p_j.$

En particulier, si $ A=]-\infty,x]$, on obtient la fonction de répartition

$\displaystyle F_P(x)=\sum_{j;a_j\leq x}p_j,$

dont le graphe est celui d'une fonction en escalier croissante, où le saut en $ a_j$ est égal à $ p_j.$ Ce cas revient un peu au cas où $ \Omega$ n'avait qu'un nombre fini de points, puisqu'ici $ P$ est concentrée sur $ \{a_1,\ldots ,a_N\}.$

Si on remplace la suite finie précédente par un ensemble dénombrable de $ \hbox{I\hskip -2pt R}$, l'extension est facile.

Définition Probabilité discrète. On s'intéresse à l'ensemble dénombrable formé des points d'une suite $ (a_n)$ telle que $ a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots$ et soit $ p_n$ des nombres positifs tels que $ \sum_1^{\infty}p_n=1.$ On formera la probabilité $ P$ définie pour tout Borélien $ A$ par

$\displaystyle P(A)=\sum_1^{\infty}p_n\delta_{a_n}(A),$

dont la fonction de répartition est en escalier croissante vec une infinité de points de discontinuités.

Définition Type mixte. On rencontre un peu rarement des fonctions de répartition de la forme $ F=\lambda G+(1-\lambda)H$$ G$ est une fonction de répartition à densité, comme vu à l'exemple 1, où $ H$ est une fonction de répartition d'une probabilité discrète, comme vu aux exemples 2, 3 ou 4, et où $ 0<\lambda<1.$ Si $ H$ a une discontinuité en $ a$ de saut $ p$, alors $ F$ a une discontinuité en $ a$ de saut $ (1-\lambda)p.$

Exercices sur 2.4.

  1. Calculer la densité des fonctions de répartition suivantes:

    $ F_1(x)=0$ si $ x\leq 0$ et $ F_1(x)=1-\exp(-x)$ si $ x>0;$

    $ F_2(x)=0$ si $ x\leq 1$ et $ F_2(x)=1-\frac{1}{x^a}$ si $ x>1$ (avec a>0).

  2. Calculer la fonction de répartition de la densité suivante:

    $ f(x)=1/2$ si $ -2<x<-1$, $ f(x)=1/2$ si $ 1<x<2$, et 0 ailleurs.

  3. On note par $ [x]$ la partie entière du nombre réel $ x$, c'est-à-dire l'entier $ n$ tel que $ n\leq x <n+1.$ Par exemple $ [\surd 2]=1,$ $ [-\surd 2]=-2,$ $ [3]=3.$ On considère la probabilité discrète de fonction de répartition $ F(x)=0$ si $ x<0$ et $ F(x)=1-\frac{1}{2^{[x]+1}}$ si $ x\geq 0.$ Tracer le graphe de $ F$. Calculer les probabilités des évènements suivants:

    $ A_1=\{0\}$, $ A_2=\{1,2\}$, $ A_3=\{4,5,\ldots\}.$

$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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