Ce cas est naturellement le plus important
de tous. La tribu mise sur
est la tribu de Borel définie
à la section 1 comme la plus petite tribu contenant les intervalles (ouverts,
fermés, semi ouverts, demi droites) Parmi ses éléments, les boréliens, les seuls
qu'on aura concrètement à manipuler sont les réunions d'intervalles.
Pour décrire les probabilités sur
, introduisons une
définition importante:
Définition Soit une fonction de
dans
On dit que est une
fonction de répartition si elle satisfait aux trois propriétés suivantes:
est croissante (au sens large);
et
est continue à droite en tout point , c'est-à-dire
On a alors le théorème fondamental suivant:
Théorème 2.12 Soit une probabilité sur
. Soit
la fonction réelle définie par
Alors est une fonction de répartition. Inversement, si est une fonction
de répartition, alors il existe une et une seule probabilité sur
telle que
Démonstration Si , alors
et donc
Ensuite, si tend vers en
décroissant et si
alors
et
par continuité monotone tend vers 0.
Donc
. Comme ceci est vrai quelle que soit la
suite tendant vers en décroissant, on en déduit
De même, si tend vers en
croissant et si
alors
et
par continuité monotone tend vers
et on a
Enfin, si
, soit
Alors
et
Par
continuité monotone on a donc
d'où la continuité à droite annoncée de la fonction
Nous admettrons la réciproque, qui est la partie difficile.
Commentaires: Ce résultat est assez rassurant: bien qu'on connaisse mal la tribu
, et donc les probabilités définies dessus, il y a en fait
bijection entre l'ensemble de toutes les probabilités sur
et
l'ensemble moins abstrait de toutes les fonctions de répartition. Mais la démonstration
complète est réservée à la 3 ème année.
La fonction de répartition permet de calculer les probabilités
de tous les intervalles. Pour simplifier, adoptons la notation pour la limite à
gauche en de la fonction croissante :
Proposition 2.13 Soit la fonction de répartition d'une probabilité
sur
. Alors
,
Pour
,
et en particulier
Démonstration La première égalité s'obtient en considérant
où est et crot vers Alors
et
Par convergence
monotone l'égalité s'ensuit. Les deux suivantes s'obtiennent par passage
au complémentaire. La suivante découle de l'égalité
et du fait que au second membre les deux ensembles sont disjoints. De même
fournit l'égalité suivante grâce à la première égalité de la liste. Laissons
les dernières en exercice.
Donnons maintenant des exemples de fonctions de répartition
Définition Fonctions de répartition à densité. Soit une fonction
positive définie sur
qui ait des discontinuités au plus en un nombre
fini de points
et qui soit telle que les intégrales
convergent et satisfassent
avec la convention
et
On définit alors la fonction par
Il est clair
que est une fonction de répartition. Ici, elle est de plus continue et, d'après
le théorème fondamental du calcul intégral, elle satisfait
pour tout
. La fonction s'appelle alors la densité
de la
fonction de répartition .
Par exemple
,
si et
si ,
qu'il est plus rapide de définir par
où
si et
sinon: la fonction s'appellera désormais
l'indicateur de l'ensemble E. Dernier exemple:
Dans ces exemples, pour et , pour et pour
Il est important de ne pas confondre les deux
fonctions et . Pour les exemples ci dessus de densités, les
fonctions de répartition correspondantes seront respectivement
( ne peut s'exprimer de façon élémentaire).
Définition La probabilité de Dirac. Si est un réel, il s'agit
de la probabilité sur
définie par
si
et
si Appliquant ceci à
, on obtient
la fonction de répartition
Voici son graphe
Si , cette fonction s'appelle l'échelon de Heaviside. Les travaux
de 1894 de cet ingénieur électricien sont à la source de la théorie
moderne des distributions. Cette théorie permet par exemple de donner
un sens à la dérivation de la fonction ci dessus: c'est la
probabilité de Dirac qui jouerait alors le rôle de la dérivée.
Définition Probabilité discrète sur un nombre fini de points. Soit
un entier , soit
des réels et soit
des nombres positifs tels que
On considère la probabilité
sur
définie par
En d'autres termes, si est un borélien:
En particulier, si
, on obtient la fonction de répartition
dont le graphe est celui d'une fonction en escalier croissante, où le saut en
est égal à Ce cas revient un peu au cas où n'avait
qu'un nombre fini de points, puisqu'ici est concentrée sur
Si on remplace la suite finie précédente
par un ensemble dénombrable de
, l'extension est facile.
Définition Probabilité discrète. On s'intéresse à l'ensemble dénombrable formé des points d'une suite telle que
et soit
des nombres positifs tels que
On formera
la probabilité définie pour tout Borélien par
dont la fonction de répartition est en escalier croissante vec une infinité
de points de discontinuités.
Définition Type mixte. On rencontre un peu rarement des fonctions de
répartition de la forme
où est une fonction de
répartition à densité, comme vu à l'exemple 1, où est une fonction
de répartition d'une probabilité discrète, comme vu aux exemples 2, 3 ou 4, et où
Si a une discontinuité en de saut , alors a une
discontinuité en de saut
Exercices sur 2.4.
Calculer la densité des fonctions de répartition suivantes:
si et
si
si et
si (avec a>0).
Calculer la fonction de répartition de la densité suivante:
si , si , et 0 ailleurs.
On note par la partie entière du nombre réel ,
c'est-à-dire l'entier tel que
Par exemple
On considère la probabilité
discrète de fonction de répartition si et
si Tracer le graphe de . Calculer
les probabilités des évènements suivants: