Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
209 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Conditionnement next up previous
suivant: Indépendance d'évènements. monter: Probabilités conditionnelles et indépendance précédent: Probabilités conditionnelles et indépendance

Conditionnement

Définition Si $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ est un espace de probabilité, soit $ B\in \mathcal{A}$ un évènement tel que $ P(B)>0$. On définit alors la nouvelle probabilité $ P_B$ sur $ \mathcal{A}$ par

$\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},$

qu'on note aussi $ P_B(A)=P(A\vert B),$ et qui se lit "probabilité de $ A$ conditionnée par $ B$", ou "sachant $ B$", ou "sachant que $ B$ est réalisé".

$ (\Omega,\mathcal{A},P_B)$ est un authentique espace de probabilité, puisque $ P_B(\Omega)=P(\Omega\cap B)/P(B)=1$ et que, si les $ (A_n)_{n\geq 1}$ sont deux à deux disjoints et dans $ \mathcal{A},$ on a bien

$\displaystyle P_B(\cup_{n\geq 1}A_n)= \frac{1}{P(B)}P(\cup_{n\geq 1}(A_n\cap B))=
\frac{1}{P(B)}\sum_{n\geq 1}P(A_n\cap B))=\sum_{n\geq 1}P_B(A_n).$

Il faut toutefois réaliser que la probabilité $ P_B$ est concentrée sur $ B$ et ne charge pas $ B^c.$

Pour énoncer le prochain résultat, il est commode d'introduire un nouveau terme:

Définition une suite finie $ (B_n)_{n=1}^N$ ou dénombrable $ (B_n)_{n=1}^{+\infty}$ d'évènements est appelée une partition de $ \Omega$ si les $ B_n$ sont deux à deux disjoints et si leur réunion est égale à $ \Omega.$

Théorème 3.1 Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, soit $ (B_n)_{n\geq 1}$ une partition de $ \Omega$ finie ou dénombrable avec $ P(B_n)>0 $ pour tout $ n$, et soit $ A\in\mathcal{A}$ tel que $ P(A)>0$.

  1. Si $ P(B)>0,$ alors $ P(A\cap B)=P(A\vert B)P(B)=P(B\vert A)P(A)$.
  2. (Principe des probabilités totales) $ P(A)=\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n).$
  3. (Formule de Bayes) Pour tout $ k$:

    $\displaystyle P(B_k\vert A)=\frac{P(A\vert B_k)P(B_k)}{\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n)}.$

$  $

Démonstration Cet énoncé est décoré du titre de théorème plutôt par son importance pratique que par la difficulté de sa démonstration: pour le 1), utiliser la définition de $ P(A\vert B).$ Pour le 2) observer que les $ A\cap B_n$ forment une partition de $ A$ et donc d'après l'axiome d'additivité $ P(A)=\sum_{n\geq 1}P(A\cap B_n)$ et terminer en utilisant le 1). Pour le 3) on a

$\displaystyle P(A\vert B_k)P(B_k)=P(A\cup B_k)=P(B_k\vert A)P(A)=
P(B_k\vert A)\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n),$

successivement en utilisant deux fois le 1) puis une fois le 2). Le résultat est équivalent au 3).

Exemple: Dans une population le nombre de châtains est de 50%, et le nombre de blonds, de noirs ou d'autres couleurs est égal. La génétique nous apprend que les probabilités conditionnelles pour qu'un enfant soit châtain (évènement $ A$) sachant que son père est blond (évènement $ B$) est $ P(A\vert B)=0,2,$ et que de même, avec des notations évidentes $ P(A\vert C)=0,7,$ $ P(A\vert N)=0,6$ et $ P(A\vert R)=0,1.$ Calculons $ P(A)$ et $ P(B\vert A).$ Les évènements $ B,C,N,R$ forment une partition avec $ P(B)=P(N)=P(R)=1/6$ et $ P(C)=1/2.$ Les probabilités totales donnent donc $ P(A)=0,2\times 1/6+0,7\times 1/2+0,6\times 1/6+0,1\times 1/6=1/2$ et la formule de Bayes donne $ P(B\vert A)=P(A\vert B)P(B)/P(A)=1/15.$


next up previous
suivant: Indépendance d'évènements. monter: Probabilités conditionnelles et indépendance précédent: Probabilités conditionnelles et indépendance
Gérard_Letac_Les-Mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page