Définition Si
est un espace de probabilité, soit
un évènement tel que . On définit alors la
nouvelle probabilité sur
par
qu'on note aussi
et qui se lit "probabilité de conditionnée
par ", ou "sachant ", ou "sachant que est réalisé".
est un authentique espace de probabilité, puisque
et que, si les
sont deux
à deux disjoints et dans
on a bien
Il faut toutefois réaliser que la probabilité est concentrée sur et
ne charge pas
Pour énoncer le prochain résultat, il est commode d'introduire
un nouveau terme:
Définition une suite finie
ou dénombrable
d'évènements est appelée une partition de si les sont deux à deux disjoints et si leur réunion est égale
à
Théorème 3.1 Soit
un espace de probabilité,
soit
une partition de finie ou dénombrable
avec pour tout , et soit
tel que .
Si alors
.
(Principe des probabilités totales)
(Formule de Bayes) Pour tout :
Démonstration Cet énoncé est décoré du titre de théorème plutôt par
son importance pratique que par la difficulté de sa démonstration: pour le 1),
utiliser la définition de Pour le 2) observer que les forment une partition de et donc d'après l'axiome d'additivité et terminer en utilisant le 1).
Pour le 3) on a
successivement en utilisant deux fois le
1) puis une fois le 2). Le résultat est équivalent au 3).
Exemple: Dans une population le nombre de châtains est de 50%, et le nombre
de blonds, de noirs ou d'autres couleurs est égal. La génétique
nous apprend que les probabilités conditionnelles pour qu'un enfant
soit châtain (évènement ) sachant que son père est blond (évènement ) est
et que de même, avec des notations évidentes
et
Calculons et Les
évènements forment une partition avec
et Les probabilités totales donnent donc
et la formule de
Bayes donne