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Conditionnement

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Conditionnement

Définition Si $(\Omega,\mathcal{A},P)$ est un espace de probabilité, soit $B\in \mathcal{A}$ un évènement tel que . On définit alors la nouvelle probabilité sur $\mathcal{A}$ par

$\displaystyle P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},$

qu'on note aussi $P_B(A)=P(A\vert B),$ et qui se lit "probabilité de

conditionnée par

", ou "sachant

", ou "sachant que

est réalisé".

$(\Omega,\mathcal{A},P_B)$ est un authentique espace de probabilité, puisque $P_B(\Omega)=P(\Omega\cap B)/P(B)=1$ et que, si les $(A_n)_{n\geq 1}$ sont deux à deux disjoints et dans $\mathcal{A},$ on a bien

$\displaystyle P_B(\cup_{n\geq 1}A_n)= \frac{1}{P(B)}P(\cup_{n\geq 1}(A_n\cap B))= \frac{1}{P(B)}\sum_{n\geq 1}P(A_n\cap B))=\sum_{n\geq 1}P_B(A_n).$

Il faut toutefois réaliser que la probabilité

est concentrée sur

et ne charge pas

Pour énoncer le prochain résultat, il est commode d'introduire un nouveau terme:

Définition une suite finie $(B_n)_{n=1}^N$ ou dénombrable $(B_n)_{n=1}^{+\infty}$ d'évènements est appelée une partition de $\Omega$ si les sont deux à deux disjoints et si leur réunion est égale à $\Omega.$

Théorème 3.1 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, soit $(B_n)_{n\geq 1}$ une partition de $\Omega$ finie ou dénombrable avec pour tout , et soit $A\in\mathcal{A}$ tel que .

Si alors $P(A\cap B)=P(A\vert B)P(B)=P(B\vert A)P(A)$ .
(Principe des probabilités totales) $P(A)=\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n).$
(Formule de Bayes) Pour tout :

$\displaystyle P(B_k\vert A)=\frac{P(A\vert B_k)P(B_k)}{\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n)}.$

Démonstration Cet énoncé est décoré du titre de théorème plutôt par son importance pratique que par la difficulté de sa démonstration: pour le 1), utiliser la définition de $P(A\vert B).$ Pour le 2) observer que les $A\cap B_n$ forment une partition de et donc d'après l'axiome d'additivité $P(A)=\sum_{n\geq 1}P(A\cap B_n)$ et terminer en utilisant le 1). Pour le 3) on a

$\displaystyle P(A\vert B_k)P(B_k)=P(A\cup B_k)=P(B_k\vert A)P(A)= P(B_k\vert A)\sum_{n\geq 1}P(A\vert B_n)P(B_n),$

successivement en utilisant deux fois le 1) puis une fois le 2). Le résultat est équivalent au 3).

Exemple: Dans une population le nombre de châtains est de 50%, et le nombre de blonds, de noirs ou d'autres couleurs est égal. La génétique nous apprend que les probabilités conditionnelles pour qu'un enfant soit châtain (évènement ) sachant que son père est blond (évènement ) est $P(A\vert B)=0,2,$ et que de même, avec des notations évidentes $P(A\vert C)=0,7,$ $P(A\vert N)=0,6$ et $P(A\vert R)=0,1.$ Calculons et $P(B\vert A).$ Les évènements forment une partition avec et Les probabilités totales donnent donc $P(A)=0,2\times 1/6+0,7\times 1/2+0,6\times 1/6+0,1\times 1/6=1/2$ et la formule de Bayes donne $P(B\vert A)=P(A\vert B)P(B)/P(A)=1/15.$