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Indépendance d'évènements.

Parfois $ A$ et $ B$ sont tels que $ P_B(A)=P(A)$: savoir que $ B$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $ A$. Ainsi dans le schéma succès échec fini avec $ N=2,$ $ \Omega$ a 4 éléments $ SS,SE,ES,EE$ de probabilités respectives $ pý, p(1-p), (1-p)p,(1-p)ý$. Si $ B=(SS,SE)$ est l'évènement: "le premier essai est un succès" et $ A=(SS,ES)$ est l'évènement: "le second essai est un succès" alors $ A\cap B=(SS)$ , $ P(A)=pý+(1-p)p=p$, $ P(B)=pý+p(1-p)=p,$ $ P(A\cap B)=pý$ et donc $ P_B(A)=P(A).$ C'est le phénomène essentiel pour les probabilités des évènements indépendants (qu'il ne faut pas confondre avec les évènements disjoints) et que nous allons définir.

Définition Soit $ \{A_1,\ldots, A_N\}$ une famille finie d'évènements d'un espace de probabilité $ (\Omega,\mathcal{A},P)$. On dit que c'est une famille indépendante ( on dit parfois un "système indépendant d'évènements") si pour toute partie non vide $ I$ de $ \{1,2,\ldots,N\}$ on a

$\displaystyle P(\cap_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}P(A_i).$

$  $

Par exemple si $ N=2,$ la famille d'évènements $ \{A,B\}$ est indépendante si et seulement si $ P(A\cap B)=P(A)P(B);$ dans le cas où $ P(B)>0$ il serait équivalent de dire $ P_B(A)=P(A).$ On a coutume de dire par abus de langage que $ A$ et $ B$ sont indépendants (abus, car l'adjectif qualificatif "indépendant" n'a de sens que s'il s'applique à la paire) ou plus correctement que $ A$ est indépendant de $ B,$ expression qui ne rend toutefois pas justice à la symétrie de la définition d' indépendance.

Si $ N=3$ la famille d'évènements $ \{A,B,C\}$ est indépendante si et seulement si

$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B), P(B\cap C)=P(B)P(C), P(C\cap A)=P(C)P(A),$

$\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C).$

Notez que la deuxième ligne n'est pas entraînée par la première. Si $ \Omega$ a 4 points 1,2,3,4 de probabilité 1/4 chacun, les 3 évènements $ A=1,2,$ $ B=1,3$ et $ C=1,4$ satisfont la première ligne et pas la deuxième: ils sont seulement deux à deux indépendants.

Si $ N$ est quelconque, il n'y a pour montrer l'indépendance que $ 2^N-1-N$ égalités à vérifier, puisque l'ensemble vide pour $ I$ est exclu et que les $ N$ cas où $ I$ est un singleton sont triviaux. Notez aussi que l'ensemble vide et l'ensemble $ \Omega$ sont indépendants de n'importe quoi et qu'une sous famille d'une famille indépendante est encore indépendante. Enfin, on convient de dire:

Définition Une famille infinie d'évènements est indépendante si toute sous famille finie est indépendante.

Comme exemple d'indépendance de $ N$ évènements, considérons dans le schéma succès échec fini avec $ N$ essais un élément particulier $ a=(a_1,\dots,a_n)$ de $ \Omega$, c'est-à-dire une suite particulière de succès et d'échecs. Notons $ k=X(a)$ le nombre de succès que comprend la suite $ a$. Soit

$\displaystyle A_j=\{\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_N)\in \Omega ; \omega_j=a_j\}.$

Alors $ \{A_1,\ldots, A_N\}$ est une famille indépendante. En effet $ P(A_j)=p$ si $ a_j=S$ et $ 1-p$ si $ a_j=E$. De plus, par définition du schéma, $ P(\{a\})=p^k(1-p)^{n-k}$ Comme $ \cap_{j=1}^N A_j=\{a\}$ on a bien $ P(\cap_{j=1}^N A_j)=\prod_{j=1}^N P(A_j).$ La démonstration pour n'importe quel sous ensemble $ I$ est analogue.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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