Parfois et sont tels que: savoir que est réalisé
ne modifie pas la probabilité de . Ainsi dans le schéma succès échec fini avec
a 4 éléments
de probabilités respectives
. Si est l'évènement: "le premier essai
est un succès" et est l'évènement: "le second essai
est un succès" alors
,
,
et donc
C'est le phénomène
essentiel pour les probabilités des évènements indépendants (qu'il ne faut pas
confondre avec les évènements disjoints) et que nous allons définir.
Définition
Soit
une famille finie d'évènements d'un espace de
probabilité. On dit que c'est une famille indépendante
( on dit parfois un "système indépendant d'évènements") si pour toute partie
non vide de
on a
Par exemple si la famille d'évènements est indépendante si et
seulement si
dans le cas où il serait équivalent
de dire
On a coutume de dire par abus de langage que et
sont indépendants (abus, car l'adjectif qualificatif "indépendant" n'a de sens
que s'il s'applique à la paire) ou plus correctement que est indépendant de
expression qui ne rend toutefois pas justice à la symétrie de la définition d'
indépendance.
Si la famille d'évènements est indépendante si et
seulement si
Notez que la deuxième ligne n'est pas entraînée par la première. Si
a 4 points 1,2,3,4 de probabilité 1/4 chacun, les 3 évènements et satisfont la première ligne et pas la deuxième: ils sont
seulement deux à deux indépendants.
Si est quelconque, il n'y a pour montrer l'indépendance que
égalités à vérifier, puisque l'ensemble vide pour est exclu
et que les cas où est un singleton sont triviaux. Notez aussi que
l'ensemble vide et l'ensemble sont indépendants de n'importe quoi
et qu'une sous famille d'une famille indépendante est encore indépendante. Enfin,
on convient de dire:
Définition Une famille infinie d'évènements est indépendante si
toute sous famille finie est indépendante.
Comme exemple d'indépendance de évènements, considérons dans le schéma succès échec fini avec essais un élément particulier
de ,
c'est-à-dire une suite particulière de succès et d'échecs. Notons le nombre
de succès que comprend la suite . Soit
Alors
est une famille indépendante. En effet
si et si . De plus, par définition du schéma,
Comme
on a bien
La démonstration pour n'importe
quel sous ensemble est analogue.
et 
sont tels que
: savoir que 
a 4 éléments
de probabilités respectives
. Si 
est l'évènement: "le premier essai
est un succès" et 
est l'évènement: "le second essai
est un succès" alors
,
,
et donc
C'est le phénomène
essentiel pour les probabilités des évènements indépendants (qu'il ne faut pas
confondre avec les évènements disjoints) et que nous allons définir.
une famille finie d'évènements d'un espace de
probabilité
. On dit que c'est une famille indépendante
( on dit parfois un "système indépendant d'évènements") si pour toute partie
non vide 
de
on a
est indépendante si et
seulement si
dans le cas où 
il serait équivalent
de dire
expression qui ne rend toutefois pas justice à la symétrie de la définition d'
indépendance.
la famille d'évènements 
est indépendante si et
seulement si
et 
satisfont la première ligne et pas la deuxième: ils sont
seulement deux à deux indépendants.
est quelconque, il n'y a pour montrer l'indépendance que
égalités à vérifier, puisque l'ensemble vide pour 
de 
le nombre
de succès que comprend la suite 
. Soit
si 
et 
si 
. De plus, par définition du schéma,
Comme
on a bien
La démonstration pour n'importe
quel sous ensemble 
