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Indépendance de sous tribus.

monter: Probabilités conditionnelles et indépendance précédent: Indépendance d'évènements.

Indépendance de sous tribus.

La notion précédente d'évènements indépendants a l'avantage d'être élémentaire, et les inconvénients de ne pas être très maniable et de ne pas refléter la réalité: l'intuition nous fait plutôt penser que c'est un groupe d'évènements qui est indépendant d'un autre groupe, plutôt que deux évènements isolés. Par exemple, il est facile de vérifier que si

est indépendant de

, alors

est aussi indépendant de

. La bonne notion de "groupe" d'évènements est en fait celle de sous tribu. D'où la définition suivante:

Définition Soit $\{\mathcal{A}_1,\ldots, \mathcal{A}_N\}$ une famille finie de sous tribus d'un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A},P)$ . On dit que c'est une famille indépendante si pour tous $B_j\in \mathcal{A}_j$ on a

$\displaystyle P(B_1\cap B_2\cap \ldots\cap B_N)=P(B_1)\ldots P(B_N).$

(Plus la peine donc d'examiner tous les sous ensembles .) En fait, c'est une puissante généralisation de la notion d'évènements indépendants, d'après le théorème suivant:

Théorème 3.2 Soient $A_1,\ldots,A_N$ des évènements. Soient les tribus à quatre éléments engendrées par les :

$\displaystyle \mathcal{A}_j=\{ \emptyset, A_j,A_j^c,\Omega\}.$

Alors la famille de sous tribus $\{\mathcal{A}_1,\ldots, \mathcal{A}_N\}$ est indépendante

si et seulement si la famille d'évènements $\{A_1,\ldots, A_N\}$ est indépendante

Démonstration Pour $\Rightarrow$ , soit une partie de $(1,2,\ldots,N)$ . Prenons alors si $j\in I$ et $B_j=\Omega$ sinon. Alors

$\displaystyle P(\cap_{i\in I}A_i)=P(B_1\cap B_2\cap \ldots\cap B_N)= P(B_1)\ldots P(B_N)=\prod_{i\in I}P(A_i).$

Bien qu'une démonstration par récurrence soit possible immédiatement pour la réciproque, nous attendons la section 5 pour avoir une démonstration plus simple.

Exercices sur la section 3.

Dans le schéma Succès Echec fini à N essais,on suppose et on considère les deux évènements = que des succès ou que des échecs, et = pas plus d'un succès. Montrer que et sont indépendants si et seulement si
On munit le segment $\Omega=[0,1]$ de la probabilité telle que pour tout intervalle $[a,b]\subset[0,1]$ . On considère les trois évènements , Quelles sont les paires d'évènements parmi qui sont indépendantes?