Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
237 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Indépendance de sous tribus. next up previous
monter: Probabilités conditionnelles et indépendance précédent: Indépendance d'évènements.

Indépendance de sous tribus.

La notion précédente d'évènements indépendants a l'avantage d'être élémentaire, et les inconvénients de ne pas être très maniable et de ne pas refléter la réalité: l'intuition nous fait plutôt penser que c'est un groupe d'évènements qui est indépendant d'un autre groupe, plutôt que deux évènements isolés. Par exemple, il est facile de vérifier que si $ A$ est indépendant de $ B$, alors $ A^c$ est aussi indépendant de $ B$. La bonne notion de "groupe" d'évènements est en fait celle de sous tribu. D'où la définition suivante:

Définition Soit $ \{\mathcal{A}_1,\ldots, \mathcal{A}_N\}$ une famille finie de sous tribus d'un espace de probabilité $ (\Omega,\mathcal{A},P)$. On dit que c'est une famille indépendante si pour tous $ B_j\in \mathcal{A}_j$ on a

$\displaystyle P(B_1\cap B_2\cap \ldots\cap B_N)=P(B_1)\ldots P(B_N).$

$  $

(Plus la peine donc d'examiner tous les sous ensembles $ I$.) En fait, c'est une puissante généralisation de la notion d'évènements indépendants, d'après le théorème suivant:

Théorème 3.2 Soient $ A_1,\ldots,A_N$ des évènements. Soient les tribus à quatre éléments engendrées par les $ A_j$:

$\displaystyle \mathcal{A}_j=\{ \emptyset, A_j,A_j^c,\Omega\}.$

Alors la famille de sous tribus $ \{\mathcal{A}_1,\ldots, \mathcal{A}_N\}$ est indépendante si et seulement si la famille d'évènements $ \{A_1,\ldots, A_N\}$ est indépendante.

Démonstration Pour $ \Rightarrow$, soit $ I$ une partie de $ (1,2,\ldots,N)$. Prenons alors $ B_j=A_j$ si $ j\in I$ et $ B_j=\Omega$ sinon. Alors

$\displaystyle P(\cap_{i\in I}A_i)=P(B_1\cap B_2\cap \ldots\cap B_N)=
P(B_1)\ldots P(B_N)=\prod_{i\in I}P(A_i).$

Bien qu'une démonstration par récurrence soit possible immédiatement pour la réciproque, nous attendons la section 5 pour avoir une démonstration plus simple.

Exercices sur la section 3.

  1. Dans le schéma Succès Echec fini à N essais,on suppose $ p=1/2$ et on considère les deux évènements $ A$= que des succès ou que des échecs, et $ B$= pas plus d'un succès. Montrer que $ A$ et $ B$ sont indépendants si et seulement si $ N=3.$

  2. On munit le segment $ \Omega=[0,1]$ de la probabilité $ P$ telle que $ P([a,b])=b-a$ pour tout intervalle $ [a,b]\subset[0,1]$. On considère les trois évènements $ A=[0,1/2]$, $ B=[1/4,3/4],$ $ C=[3/8,7/8].$ Quelles sont les paires d'évènements parmi $ A,B,C$ qui sont indépendantes?

$  $


next up previous
monter: Probabilités conditionnelles et indépendance précédent: Indépendance d'évènements.
Gérard_Letac_Les-Mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page