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Fonctions mesurables

Quand en mathématiques une nouvelle structure est introduite, comme celle d'espace vectoriel, ou comme présentement celle d'espace de probabilité, une démarche féconde est de rechercher les transformations qui préservent cette structure. Pour les espaces vectoriels, ce sont les applications linéaires. Pour les espaces de probabilité, ce sont les "fonctions mesurables" qu'on va introduire dans un instant. Le cas particulier important en sera les "variables aléatoires". Auparavant, adoptons la notation suivante:

Définition si $ E$ et $ F$ sont des ensembles quelconques, si $ f$ est une fonction définie sur $ E$ et à valeurs dans $ F$, et si enfin $ B$ est un sous ensemble de $ F$, l'ensemble $ A$ des $ x$ de $ E$ tels que $ f(x)$ soit dans $ B$ sera désormais noté par $ A=f^{-1}(B).$ Nous l'appellerons l'image inverse de $ B$ par $ f$.

Insistons sur le fait que $ f$ n'est pas nécessairement injective ni surjective. On vérifie facilement que:

Proposition Si $ B_1$ et $ B_2$ sont des sous ensembles de $ F$ alors on a

$\displaystyle f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2) \mathrm{et}\
f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2).$

$  $

La même propriété est vraie même avec une famille infinie de $ B$.

Définition Soit alors deux espaces $ \Omega$ et $ \Omega_1$, chacun muni d'une tribu $ \mathcal{A}$ et $ \mathcal{A}_1$, et soit $ f$ une fonction définie sur $ \Omega$ à valeurs dans $ \Omega_1$ On dit que $ f$ est une fonction mesurable si pour tout $ B\in \mathcal{A}_1$, alors $ A=f^{-1}(B)$ est un élément de $ \mathcal{A}$.

Dans ces conditions, on voit facilement que:

Proposition L'ensemble des parties $ A$ de la tribu $ \Omega$ qui sont de la forme $ f^{-1}(B)$, avec $ B\in \mathcal{A}_1$, est une tribu. On la note parfois $ f^{-1}(\mathcal{A}_1)$. Comme $ f$ est mesurable, c'est donc une sous tribu de $ \mathcal{A}.$

Montrer qu'une fonction est mesurable est généralement facile grâce au théorème suivant, dont la démonstration est hors programme.

Théorème 4.1 Soit $ \mathcal{F}$ une famille de parties de $ \Omega_1$ telle que la tribu $ \mathcal{A}_1$ soit la plus petite qui contienne $ \mathcal{F}.$ Soit $ f$ une fonction de $ \Omega$ à valeurs dans $ \Omega_1.$ Soit $ \mathcal{A}$ une tribu sur $ \Omega.$ Alors $ f$ est mesurable pour ce couple de tribus si et seulement si pour tout $ B\in \mathcal{F}$ alors $ f^{-1}(B)\in \mathcal{A}.$

Illustrons ceci par un exemple important en l'appliquant au cas où $ (\Omega,\mathcal{A})=(\Omega_1,\mathcal{A}_1)=(\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$, pour montrer que

Proposition Toute fonction continue $ f$ de $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ est mesurable.

Démonstration Pour cela, on applique le théorème au cas où $ \mathcal{F}$ est l'ensemble de tous les intervalles ouverts: par définition de la tribu $ \mathcal{B}$ de Borel, l'hypothèse du théorème est vérifiée. Ensuite, on sait d'après le cours d'analyse que l'image inverse d'un intervalle ouvert par une fonction continue est une réunion finie ou dénombrable d'intervalles ouverts, et est donc un borélien.

Démonstration La partie "seulement si" découle des définitions. Pour la partie "si", l'art est de considérer la tribu $ \mathcal{T}$ de parties de $ \Omega$ engendrée par tous les $ f^{-1}(B)$ lorsque $ B$ parcourt $ \mathcal{F}$ ainsi que

$\displaystyle \mathcal{T}_1=\{ B\subset \Omega_1;  f^{-1}(B)\in \mathcal{T}\}.$

A son tour, $ \mathcal{T}_1$ est une tribu de parties de $ \Omega_1$ (ce point se vérifie directement facilement), et elle contient $ \mathcal{F}$, et donc elle contient la tribu $ \mathcal{A}_1$. D'où

$\displaystyle f^{-1}(\mathcal{T}_1)\supset f^{-1}(\mathcal{A}_1)=\mathcal{A}.$

Mais comme par définition de $ \mathcal{T}_1$ on a

$\displaystyle f^{-1}(\mathcal{T}_1)\subset \mathcal{T},$

on en tire que $ \mathcal{T}=\mathcal{A},$ ce qui est l'égalité cherchée.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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