Fonctions mesurables

Quand en mathématiques une nouvelle structure est introduite, comme celle d'espace vectoriel, ou comme présentement celle d'espace de probabilité, une démarche féconde est de rechercher les transformations qui préservent cette structure. Pour les espaces vectoriels, ce sont les applications linéaires. Pour les espaces de probabilité, ce sont les "fonctions mesurables" qu'on va introduire dans un instant. Le cas particulier important en sera les "variables aléatoires". Auparavant, adoptons la notation suivante:

Définition si et sont des ensembles quelconques, si est une fonction définie sur et à valeurs dans , et si enfin est un sous ensemble de , l'ensemble des de tels que soit dans sera désormais noté par Nous l'appellerons l'image inverse de par .

Insistons sur le fait que n'est pas nécessairement injective ni surjective. On vérifie facilement que:

Proposition Si et sont des sous ensembles de alors on a

La même propriété est vraie même avec une famille infinie de .

Définition Soit alors deux espaces et , chacun muni d'une tribu et , et soit une fonction définie sur à valeurs dans On dit que est une fonction mesurable si pour tout , alors est un élément de .

Dans ces conditions, on voit facilement que:

Proposition L'ensemble des parties de la tribu qui sont de la forme , avec , est une tribu. On la note parfois . Comme est mesurable, c'est donc une sous tribu de

Montrer qu'une fonction est mesurable est généralement facile grâce au théorème suivant, dont la démonstration est hors programme.

Théorème 4.1 Soit une famille de parties de telle que la tribu soit la plus petite qui contienne Soit une fonction de à valeurs dans Soit une tribu sur Alors est mesurable pour ce couple de tribus si et seulement si pour tout alors

Illustrons ceci par un exemple important en l'appliquant au cas où , pour montrer que

Proposition Toute fonction continue de dans est mesurable.

Démonstration Pour cela, on applique le théorème au cas où est l'ensemble de tous les intervalles ouverts: par définition de la tribu de Borel, l'hypothèse du théorème est vérifiée. Ensuite, on sait d'après le cours d'analyse que l'image inverse d'un intervalle ouvert par une fonction continue est une réunion finie ou dénombrable d'intervalles ouverts, et est donc un borélien.

Démonstration La partie "seulement si" découle des définitions. Pour la partie "si", l'art est de considérer la tribu de parties de engendrée par tous les lorsque parcourt ainsi que