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Image d'une probabilité.

Définition Si $ (\Omega,\mathcal{A})$ est muni d'une probabilité, alors la fonction mesurable $ f$ permet de définir de façon naturelle une probabilité $ P_1$ sur $ (\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ ainsi: pour tout $ B\in \mathcal{A}_1$

$\displaystyle P_1(B)=P(f^{-1}(B)).$

La probabilité $ P_1$ ainsi fabriquée est appelée l'image de la probabilité $ P$ par la fonction mesurable $ f$. On parle aussi de la probabilité $ P_1$ transportée de $ P$ par $ f$. On la note traditionnellement $ P_1=f_*P$. D'autres la notent plus correctement $ Pf^{-1}$, mais c'est moins commode.

Cette fonction $ P_1$ sur $ \mathcal{A}_1$ est bien une probabilité. En effet,

$\displaystyle P_1(\Omega_1)=P(f^{-1}(\Omega_1))=P(\Omega)=1;$

De plus si $ B_1$ et $ B_2$ sont des parties disjointes de $ \Omega_1$, alors $ f^{-1}(B_1)$ et $ f^{-1}(B_2)$ sont alors des parties disjointes de $ \Omega.$ Cela permet de vérifier facilement l'axiome d'additivité dénombrable pour $ P_1.$



Gérard_Letac_Les-Mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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