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monter: Image d'une probabilité, variables précédent: Image d'une probabilité.

Les variables aléatoires réelles et leurs lois.

Nous appliquons les concepts précédents, qui étaient bien abstraits, au cas où l'espace d'arrivée $ (\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ est $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$. Dans ce cadre, une fonction mesurable de $ \Omega$ à valeurs dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ prend le nom de variable aléatoire réelle, ou de variable aléatoire si le contexte est clair (on pourra ensuite considérer des variables aléatoires à valeurs dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}ý$ ou dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}^n$ quand on aura précisé de quelle tribu équiper $ \hbox{I\hskip -2pt R}^n).$

Définition Une variable aléatoire réelle est une fonction mesurable d'une tribu $ (\Omega,\mathcal{A})$ dans la tribu $ (\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$ $ \mathcal{B}$ est l'ensemble des boréliens de $ \hbox{I\hskip -2pt R}$.

Plutôt que de noter la variable aléatoire $ f$, la tradition est de la noter par une lettre majuscule comme $ X$. En dépit du nom de "variable aléatoire," qu'on garde pour des raisons historiques, $ X$ est donc une fonction réelle définie sur $ \Omega.$ L'avantage de travailler dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ est que grâce au Théorème 2.12, on sait comment sont faites les probabilités sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ et donc les probabilités transportées par les variables aléatoires. On abandonne d'ailleurs également pour $ P_1=X_*P$ ce nom de probabilité transportée de $ P$ par la variable aléatoire $ X$, on la note plutôt $ P_X$ et on l'appelle la loi de la variable aléatoire $ X$: c'est une probabilité sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$.

Définition Si $ X$ est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $ (\Omega,\mathcal{A},P)$, l'application $ P_X$ définie de l'ensemble des boréliens de $ \mathcal{B}$ dans $ [0,1]$ par $ P_X(B)=P(X^{-1}(B))$ est une probabilité sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ appelé loi de la variable aléatoire $ X$.

Quant à la fonction de répartition $ F_{P_X}$, il est plus simple de la noter $ F_X$. Donc on a

$\displaystyle F_X(x)=P(\{\omega\in\Omega ;  X(\omega)\leq x\});$

ici encore, il est plus simple d'écrire $ F_X(x)=P(X\leq x).$

Définition Si $ X$ est une variable aléatoire réelle, la fonction $ F_X$ définie sur $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ par

$\displaystyle F_X(x)=P(\{\omega\in\Omega ;  X(\omega)\leq x\})$

est la fonction de répartition de la variable aléatoire X.

Enfin, v.a. est une abréviation courante pour "variable aléatoire".

A propos du schéma Succès Echec fini d'ordre $ N$, nous avons déjà rencontré la variable aléatoire $ X$ qui était le nombre de succès en $ N$ expériences pour laquelle nous avons vu que $ P(X=k)=C_N^kp^k(1-p)^{N-k}$. C'est donc dire que la loi de $ X$ est la loi discrète concentrée sur les entiers $ 0,1,\ldots,N$ et égale à

$\displaystyle (1-p)^N\delta_0+N(1-p)^{N-1}p\delta_1+\cdots+C_N^kp^k(1-p)^{N-k}\delta_k+
\cdots+p^N\delta_N$

(Rappelons que $ \delta_k$ est la probabilité de Dirac concentrée en $ k$).

Plus généralement:

Définition Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Une variable aléatoire $ X$ sur $ \Omega$ ne prenant qu'un nombre fini de valeurs $ a_1<a_2<\ldots<a_N$ sera dite étagée.

Les parties $ X^{-1}(\{a_j\})=A_j$ de $ \Omega$ sont des éléments de $ \mathcal{A}$, puisque les $ \{a_j\}$ sont des intervalles, d'un type un peu particulier, et donc des boréliens. Les $ A_j$ sont deux à deux disjoints, et si on introduit leurs indicateurs, on peut écrire

$\displaystyle X=a_1{\bf 1}_{A_1}+\cdots+a_N{\bf 1}_{A_N}.$

Si $ p_j=P(A_j)$ on voit que la loi de $ X$ est

$\displaystyle P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N}.$

Une autre manière de dire la même chose est d'écrire $ P(X=a_j)=p_j$ pour tout $ j.$


Il y a un certain nombre de lois de probabilités qu'on rencontre souvent dans la nature que nous pourrions présenter maintenant, mais il est préférable de définir quelques caractéristiques des variables aléatoires avant pour pouvoir présenter une carte d'identité plus complète de chacune de ces lois classiques.

Exercices sur la section 4.

  1. Soit $ X$ une variable aléatoire de densité $ ax^{a-1}{\bf 1}_{]0,1[}(x).$ Calculer l'image de sa loi par $ x\mapsto x/(1-x).$ Méthode: calculer la fonction de répartition de $ Y=X/(1-X)$ et dériver celle ci.
  2. Soit $ X$ une variable aléatoire suivant la loi de Cauchy, c'est-à-dire de densité $ \frac{1}{\pi(1+xý)}$. Calculer l'image de sa loi par $ x\mapsto 1/x.$
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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