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monter: Image d'une probabilité, variables précédent: Image d'une probabilité.

Les variables aléatoires réelles et leurs lois.

Nous appliquons les concepts précédents, qui étaient bien abstraits, au cas où l'espace d'arrivée $(\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ est $(\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$ . Dans ce cadre, une fonction mesurable de $\Omega$ à valeurs dans $\hbox{I\hskip -2pt R}$ prend le nom de variable aléatoire réelle, ou de variable aléatoire si le contexte est clair (on pourra ensuite considérer des variables aléatoires à valeurs dans $\hbox{I\hskip -2pt R}ý$ ou dans $\hbox{I\hskip -2pt R}^n$ quand on aura précisé de quelle tribu équiper $\hbox{I\hskip -2pt R}^n).$

Définition Une variable aléatoire réelle est une fonction mesurable d'une tribu $(\Omega,\mathcal{A})$ dans la tribu $(\hbox{I\hskip -2pt R},\mathcal{B})$ où $\mathcal{B}$ est l'ensemble des boréliens de $\hbox{I\hskip -2pt R}$ .

Plutôt que de noter la variable aléatoire , la tradition est de la noter par une lettre majuscule comme . En dépit du nom de "variable aléatoire," qu'on garde pour des raisons historiques, est donc une fonction réelle définie sur $\Omega.$ L'avantage de travailler dans $\hbox{I\hskip -2pt R}$ est que grâce au Théorème 2.12, on sait comment sont faites les probabilités sur $\hbox{I\hskip -2pt R}$ et donc les probabilités transportées par les variables aléatoires. On abandonne d'ailleurs également pour ce nom de probabilité transportée de par la variable aléatoire , on la note plutôt et on l'appelle la loi de la variable aléatoire : c'est une probabilité sur $\hbox{I\hskip -2pt R}$ .

Définition Si est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ , l'application définie de l'ensemble des boréliens de $\mathcal{B}$ dans par $P_X(B)=P(X^{-1}(B))$ est une probabilité sur $\hbox{I\hskip -2pt R}$ appelé loi de la variable aléatoire .

Quant à la fonction de répartition $F_{P_X}$ , il est plus simple de la noter . Donc on a

$\displaystyle F_X(x)=P(\{\omega\in\Omega ; X(\omega)\leq x\});$

ici encore, il est plus simple d'écrire $F_X(x)=P(X\leq x).$

Définition Si est une variable aléatoire réelle, la fonction définie sur $\hbox{I\hskip -2pt R}$ par

$\displaystyle F_X(x)=P(\{\omega\in\Omega ; X(\omega)\leq x\})$

est la fonction de répartition

de la variable aléatoire X.

Enfin, v.a. est une abréviation courante pour "variable aléatoire".

A propos du schéma Succès Echec fini d'ordre , nous avons déjà rencontré la variable aléatoire qui était le nombre de succès en expériences pour laquelle nous avons vu que $P(X=k)=C_N^kp^k(1-p)^{N-k}$ . C'est donc dire que la loi de est la loi discrète concentrée sur les entiers $0,1,\ldots,N$ et égale à

$\displaystyle (1-p)^N\delta_0+N(1-p)^{N-1}p\delta_1+\cdots+C_N^kp^k(1-p)^{N-k}\delta_k+ \cdots+p^N\delta_N$

(Rappelons que $\delta_k$ est la probabilité de Dirac

concentrée en

Plus généralement:

Définition Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Une variable aléatoire sur $\Omega$ ne prenant qu'un nombre fini de valeurs $a_1<a_2<\ldots<a_N$ sera dite étagée.

Les parties $X^{-1}(\{a_j\})=A_j$ de $\Omega$ sont des éléments de $\mathcal{A}$ , puisque les $\{a_j\}$ sont des intervalles, d'un type un peu particulier, et donc des boréliens. Les sont deux à deux disjoints, et si on introduit leurs indicateurs, on peut écrire

$\displaystyle X=a_1{\bf 1}_{A_1}+\cdots+a_N{\bf 1}_{A_N}.$

on voit que la loi de

est

$\displaystyle P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N}.$

Une autre manière de dire la même chose est d'écrire

pour tout

Il y a un certain nombre de lois de probabilités qu'on rencontre souvent dans la nature que nous pourrions présenter maintenant, mais il est préférable de définir quelques caractéristiques des variables aléatoires avant pour pouvoir présenter une carte d'identité plus complète de chacune de ces lois classiques.

Exercices sur la section 4.

Soit une variable aléatoire de densité $ax^{a-1}{\bf 1}_{]0,1[}(x).$ Calculer l'image de sa loi par $x\mapsto x/(1-x).$ Méthode: calculer la fonction de répartition de et dériver celle ci.
Soit une variable aléatoire suivant la loi de Cauchy, c'est-à-dire de densité $\frac{1}{\pi(1+xý)}$ . Calculer l'image de sa loi par $x\mapsto 1/x.$