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Théorème de Cantor-Bernstein

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Les variables aléatoires étagées.

suivant: Espérance d'une variable aléatoire monter: L'espérance mathématique d'une variable précédent: L'espérance mathématique d'une variable

Les variables aléatoires étagées.

Définition Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Désignons par $\mathcal{E}$ l'ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur $\Omega.$ A tout élément de $\mathcal{E}$ nous associons un nombre appelé espérance mathématique de , noté $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ , et défini ainsi: si la loi de est

$\displaystyle P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N},$

alors

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=p_1a_1+\cdots+p_Na_N.$

En fait, $\mathcal{E}$ est un espace vectoriel et $X\mapsto \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ est une forme linéaire positive dessus, comme le montre le théorème suivant:

Théorème 5.1 (Linéarité et positivité de l'espérance)

Si et sont des v.a. étagées sur $\Omega$ alors $\lambda X+ \mu Y$ , pour des réels $\lambda$ et $\mu$ , est encore une v.a. étagée. De plus $\hbox{I\hskip -2pt E}(\lambda X+ \mu Y)=\lambda \hbox{I\hskip -2pt E}(X)+ \mu \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ . Enfin $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)\geq \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ si $X\geq Y.$

Démonstration Introduisons les lois de et :

$\displaystyle P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N}, P_Y=q_1\delta_{b_1}+\cdots+q_M\delta_{b_M},$

notons $X^{-1}(\{a_i\})=A_i$ , $Y^{-1}(\{b_j\})=B_j$ et $C_{ij}=A_i\cap B_j$ et $r_{ij}=P(C_{ij}).$ La matrice $(r_{ij})$ a pour somme des lignes le vecteur ligne $(q_1,\ldots,q_M)$ et pour somme des colonnes le vecteur colonne $^t(p_1,\ldots,p_N).$ Les valeurs prises par $Z=\lambda X+ \mu Y$ sont les $c_{ij}=\lambda a_i+\mu b_j$ et comme $Z^{-1}(\{c_{ij}\})=C_{ij}\in \mathcal{A},$ on en déduit que

est aussi une v.a. Sa loi est

$\displaystyle P_Z=\sum_{ij}r_{ij}\delta_{c_{ij}},$

et est donc d'espérance

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(Z)=\sum_{ij}r_{ij}c_{ij}=\sum_{ij}r_{ij}(\l... ...j\sum_ir_{ij}= \lambda \hbox{I\hskip -2pt E}(X)+ \mu \hbox{I\hskip -2pt E}(Y).$

Quant à l'inégalité, il suffit d'observer que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X-Y)\geq 0$ par définition de l'espérance et d'appliquer ensuite la linéarité qu'on vient de démontrer.

Définition Variable aléatoire de Bernoulli. Un exemple particulièrement simple et important de v.a étagée est celui où ne prend que les valeurs 0 et 1, c'est à dire où la loi de est

$\displaystyle P_X=(1-p)\delta_0+p\delta_1,$

où $p\in [0,1]$ . Sa loi est appelée une loi de Bernoulli.

est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli.

Proposition L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre est . Si est définie sur l'espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A},P)$ , soit $A=\{\omega ; X(\omega)=1\}$ alors $X={\bf 1}_A$ est l'indicateur de , et on a donc

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}({\bf 1}_A)=P(A).$

Inversement, un indicateur a toujours une loi de Bernoulli.

Nous allons utiliser le théorème précédent et les indicateurs pour terminer la démonstration du théorème 3.2. On veut donc montrer que si $B_j\in \mathcal{A}_j=\{\emptyset,A_j,A_j^c,\Omega\}$ et si les sont indépendants, alors

$\displaystyle P(\cap_{j=1}^NB_j)=\prod_{j=1}^NP(B_j).$

On le montre en remarquant d'abord que dans les 4 cas possibles pour

, il existe deux nombres

tels que

$\displaystyle {\bf 1}_{B_j}=a_j+b_j{\bf 1}_{A_j};$

on prend en effet

est vide,

est plein,

D'où le calcul:

$\displaystyle P(\cap_{j=1}^NB_j)=\hbox{I\hskip -2pt E}(\prod_{j=1}^N{\bf 1}_{B_... ...I\hskip -2pt E}[\sum_{I}(\prod_{j\in I^c}a_j)(\prod_{j\in I}b_j{\bf 1}_{A_j})]=$

$\displaystyle \sum_{I}(\prod_{j\in I^c}a_j)(\prod_{j\in I}b_j) \hbox{I\hskip -... ...{A_j})= \sum_{I}(\prod_{j\in I^c}a_j)(\prod_{j\in I}b_j) P(\cap_{j\in I}A_j)=$

$\displaystyle \sum_{I}(\prod_{j\in I^c}a_j)(\prod_{j\in I}b_j) (\prod_{j\in I}... ...(A_j))=\prod_{j=1}^N\hbox{I\hskip -2pt E}({\bf 1}_{B_j})= \prod_{j=1}^NP(B_j).$

Dans cette chaîne de 9 égalités, la première, la cinquième et les 2 dernières s'appuient sur le fait que l'espérance de l'indicateur est la probabilité, la deuxième sur la définition des et , la troisième et la septième sur un développement algébrique; enfin, surtout, la quatrième s'appuie sur le théorème précédent et la sixième sur l'indépendance des .