Définition Soit
un espace de probabilité. Désignons par
l'ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies
sur
A tout élément de
nous associons un nombre appelé
espérance mathématique de , noté
, et défini ainsi:
si la loi de est
alors
En fait,
est un espace vectoriel et
est une forme
linéaire positive dessus, comme le montre le théorème suivant:
Théorème 5.1 (Linéarité et positivité de l'espérance)
Si et sont des v.a. étagées
sur alors
, pour des réels et , est
encore une v.a. étagée.
De plus.
Enfin
si
Démonstration Introduisons les lois de et :
notons
,
et
et
La matrice a pour somme des lignes le vecteur
ligne
et pour somme des colonnes le vecteur colonne
Les valeurs prises par
sont les
et comme
on en déduit que
est aussi une v.a. Sa loi est
et est donc d'espérance
Quant à l'inégalité, il suffit d'observer que
par définition
de l'espérance et d'appliquer ensuite la linéarité qu'on vient de démontrer.
Définition Variable aléatoire de Bernoulli. Un exemple particulièrement
simple et important de v.a étagée est celui où ne prend que les valeurs
0 et 1, c'est à dire où la loi de est
où
. Sa loi est appelée une loi de Bernoulli. est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli.
Proposition L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre est . Si est définie sur l'espace de probabilité
, soit
alors
est l'indicateur de , et on a donc
Inversement, un indicateur a toujours une loi de Bernoulli.
Nous allons utiliser le théorème précédent et les indicateurs pour terminer
la démonstration du théorème 3.2. On veut donc montrer que si
et si les sont indépendants,
alors
On le montre en remarquant d'abord que dans les 4 cas possibles pour ,
il existe deux nombres et tels que
on prend en effet si est vide, , si est
plein, , si , , si
D'où le calcul:
Dans cette chaîne de 9 égalités, la première, la cinquième et les
2 dernières s'appuient sur
le fait que l'espérance de l'indicateur est la probabilité, la deuxième sur la
définition des et , la troisième et la septième sur un développement
algébrique; enfin, surtout,
la quatrième s'appuie sur le théorème précédent et la sixième sur l'indépendance des .