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Espérance d'une variable aléatoire quelconque.

Toutes les variables aléatoires ne sont pas étagées, mais toutes sont approchables par des v.a. étagées, et cela va permettre de définir l'espérance d'une v.a. quelconque. Plus précisément, on a le théorème suivant:

Théorème 5.2 Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, et $ X :\Omega\rightarrow \hbox{I\hskip -2pt R}$ une variable aléatoire positive. Alors

  1. Il existe une suite croissante de v.a. étagées $ (X_n)$ telle $ X=\lim_{n\rightarrow +\infty} X_n.$
  2. Si la suite $ (X_n)$ ci dessus est telle que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)$ soit bornée, alors le nombre

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$

    ne dépend que de $ X$ et non de la suite particulière $ (X_n)$, dans le sens que si $ (X'_n)$ a les propriétés demandées à $ (X_n)$ au 1), alors la suite $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X'_n)$ a la même limite. $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ est l'espérance de la variable aléatoire positive $ X$.
  3. Si $ Y$ est une autre v.a positive sur $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ telle que $ E(Y)$ existe, et si $ \lambda$ et $ \mu$ sont des nombres $ \geq 0,$ alors $ \hbox{I\hskip -2pt E}(\lambda X+\mu Y)$ existe et est égale à $ \lambda \hbox{I\hskip -2pt E}(X)+\mu \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$.
  4. Si $ 0\leq X\leq Y$ et si $ \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ existe, alors $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe et $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)\leq \hbox{I\hskip -2pt E}(Y).$
  5. Si $ X\geq 0$, alors $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=0$ si et seulement si la loi de $ X$ est la probabilité de Dirac en 0.
$  $

Nous omettons la démonstration, bien que celle ci ne soit pas difficile. Il faut insister sur le fait que l'espérance de cette v.a. positive n'existe pas toujours.

Ce théorème définit donc $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ pour des v.a positives. Pour passer au cas d'une v.a de signe quelconque, voici la démarche à suivre:

Définition On considère une v.a. $ X$ définie sur $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ et on écrit cette fonction de $ \omega\in\Omega$ comme différence de deux fonctions positives $ X=X_+-X_-,$$ a_+$ signifie max$ (a,0)$ et $ a_-=(-a)_+$ (rappelons que cela implique $ a=a_+-a_-$ et $ \vert a\vert=a_++a_-).$ Donc $ \vert X\vert=X_+-X_-$. On dira que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe si, au sens du théorème 5.2, l'espérance de $ \vert X\vert$ existe. Dans ces conditions, d'après le 2) du théorème 5.2, $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X_+)$ et $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X_-)$ existent, et on définit l'espérance de $ X$ par $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X_+)-\hbox{I\hskip -2pt E}(X_-).$

On a alors l'importante extension du théorème de linéarité et de positivité:

Corollaire 5.3 Soit $ (\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, soit $ \mathcal{L}_1$ l'ensemble des variables aléatoires $ X$ sur cet espace telles que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe (ou, de façon équivalente, telles que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(\vert X\vert)$ soit finie). Alors $ \mathcal{L}_1$ est un espace vectoriel et $ X\mapsto \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ est une forme linéaire sur $ \mathcal{L}_1$, telle que de plus $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)\geq \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ si $ X\geq Y.$

Appliquons cela à deux cas particuliers importants, celui où $ X$ est discrète et positive et celui où la loi de $ X$ a une densité.

Proposition 5.4 Soit $ X$ une v.a discrète avec

$\displaystyle P_X=\sum _{j=1}^{\infty}p_j\delta_{a_j}$

$ \sum _{j=1}^{\infty}p_j=1.$ Alors l'espérance de $ X$, $ E(X)$ existe si et seulement si la série $ \sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j$ est absolument convergente. S'il en est ainsi, alors

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j.$

$  $

Démonstration Montrons le d'abord si les $ a_n$ sont positifs ou nuls. Alors puisque $ X=\sum _{j=1}^{\infty}a_j{\bf 1}_{A_j}$, où les évènements $ A_j=\{X=j\}$ sont deux à deux disjoints dans $ \Omega$, il suffit de considérer la v.a. étagée $ X_n=\sum _{j=1}^{n}a_j{\bf 1}_{A_j},$ qui est nulle sur $ \cup_{j=n+1}^{\infty}A_j$, et qui définit une suite ayant les propriétés requises au théorème 5.2. Le résultat est alors clair.

Si les $ a_n$ ne sont pas positifs on écrit $ a_n=(a_n)_+-(a_n)_-$ et les deux séries $ \sum _{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_+$ et $ \sum _{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_-$ convergent si et seulement si $ \sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j$ est absolument convergente. Cela permet de conclure facilement.

Proposition 5.5 Supposons que la loi de la v.a. $ X$ ait une densité $ f$ avec un nombre fini de points de discontinuités $ a_1<\ldots<a_N.$ Alors l'espérance de $ X$, $ E(X)$ existe si et seulement si $ \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$ est absolument convergente. S'il en est ainsi, alors

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx.$

$  $

Démonstration Contentons nous de donner les idées de la démonstration quand $ X$ est positive et quand sa densité $ f$ est continue. L'extension aux hypothèses du théorème sera alors standard. On découpe $ [0,n]$ en $ n2^n$ intervalles égaux par les points $ x_k=\frac{k}{2^n}$, avec $ k=0,1,\ldots,n2^n$, on convient $ x_{n2^n+1}=+\infty$ et on définit la variable aléatoire étagée $ X_n=x_k$ quand $ x_k\leq X<x_{k+1}.$ Ceci est bien une suite croissante et on a bien $ \lim_{n\rightarrow +\infty} X_n=X$.

Si $ \int_{0}^{\infty} xf(x)dx$ converge, notons

$\displaystyle D_n=\int_{0}^{\infty} xf(x)dx-\hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)=
\sum_{k=0}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx.$

Soit $ \epsilon>0.$ Il existe un entier $ A$ tel que $ \int_{A}^{\infty} xf(x)dx\leq \epsilon. $ Soit alors $ K$ tel que $ x_K=A$ et soit $ F$ la fonction de répartition de $ X$. On partage alors $ D_n$ en deux sommes $ A_n$ et $ B_n$, avec

$\displaystyle A_n= \sum_{k=K}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx\leq
2\int_A^{+\infty}xf(x)dx\leq 2\epsilon,$

$\displaystyle B_n=\sum_{k=0}^{K-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx =-\int_0^AF(x)dx+\sum_{k=0}^{K-1}(x_{k+1}-x_k)F(x_{k+1}),
$

la dernière égalité étant obtenue par intégration par parties en posant $ u=(x-x_k)$ et $ v'=f.$ Notons que les symboles $ x_K$ et $ K$ sont des fonctions de $ n$. Si $ n$ tend vers l'infini, $ (B_n)$ tend vers zéro, comme suite des différences entre une intégrale et les sommes de Riemann de cette intégrale. On voit donc que $ (D_n)$ tend vers 0. Le cas où $ \int_{0}^{\infty} xf(x)dx$ diverge est similaire.

Exercices sur 5.2

  1. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire de loi

    $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\delta_n.$

  2. Pour quelles valeurs de $ a>0$ la variable aléatoire $ X$ ayant pour fonction de répartition $ F_X(x)=1-\frac{1}{(1+x)^a}$ si x>0, et $ F_X(x)=0$ si $ x\leq 0,$ possède-t-elle une espérance?

$  $

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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