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Théorème du transport.

Il arrive souvent qu'on ait besoin de calculer, non l'espérance de la variable aléatoire $ X$, mais l'espérance d'une fonction $ Y=g(X)$ de celle ci. Si on applique la définition de l'espérance, cela suppose qu'on calcule la loi de $ Y$, ce qui peut être très incommode. Le résultat suivant simplifie ce problème.

Théorème 5.6 ( du transport ) Soit $ X$ une v.a. sur l'espace de probabilité $ (\Omega,\mathcal{A},P).$ Soit $ x\mapsto y=g(x)$ une fonction mesurable de $ \hbox{I\hskip -2pt R}$ dans $ \hbox{I\hskip -2pt R}.$ Si $ X$ est étagée ou discrète et de loi

$\displaystyle P_X=\sum _{j\geq 1}p_j\delta_{a_j},$

alors l'espérance de X, $ \hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ existe si et seulement si $ \sum _{j\geq 1}p_jg(a_j)$ converge absolument et dans ce cas $ \hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ est égale à cette somme.

Si $ X$ a une densité $ f$, alors de même $ \hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ existe si et seulement si $ \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx$ est absolument convergente, et dans ce cas $ \hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ est égale à la somme de l'intégrale.

Démonstration On montre d'abord le résultat quand $ X$ est étagée, puis quand $ X$ est positive en appliquant la définition de l'espérance d'une variable aléatoire positive, et on passe facilement au cas où $ X$ est de signe quelconque.

Exercices sur 5.3

  1. Soit une variable aléatoire $ X$ de densité $ \frac{1}{2}\exp(-\vert x\vert).$ Soit $ z$ un nombre réel et soit $ g(x)=\exp(zx).$ Pour quelles valeurs de $ z$ $ Y=g(X)$ a-t-elle une espérance? La calculer quand elle existe.

  2. $ X$ une variable aléatoire de densité $ \frac{1}{2}{\bf 1}_{[-1,1]}(x)$ et soit $ Y=\tan(\frac{\pi}{2}X).$ Etudier de deux manières l'existence éventuelle de $ \hbox{I\hskip -2pt E}(Y):$ soit à l'aide du théorème du transport, soit en calculant la densité de $ Y$: pour cela, écrire d'abord la fonction de répartition de $ Y$ puis dériver.

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