Théorème du transport.

Il arrive souvent qu'on ait besoin de calculer, non l'espérance de la variable aléatoire , mais l'espérance d'une fonction de celle ci. Si on applique la définition de l'espérance, cela suppose qu'on calcule la loi de , ce qui peut être très incommode. Le résultat suivant simplifie ce problème.

Théorème 5.6 ( du transport ) Soit une v.a. sur l'espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A},P).$ Soit $x\mapsto y=g(x)$ une fonction mesurable de $\hbox{I\hskip -2pt R}$ dans $\hbox{I\hskip -2pt R}.$ Si est étagée ou discrète et de loi

$\displaystyle P_X=\sum _{j\geq 1}p_j\delta_{a_j},$

alors l'espérance de X, $\hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ existe si et seulement si $\sum _{j\geq 1}p_jg(a_j)$ converge absolument et dans ce cas $\hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ est égale à cette somme.

Si a une densité , alors de même $\hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ existe si et seulement si $\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx$ est absolument convergente, et dans ce cas $\hbox{I\hskip -2pt E}(g(X))$ est égale à la somme de l'intégrale.

Démonstration On montre d'abord le résultat quand est étagée, puis quand est positive en appliquant la définition de l'espérance d'une variable aléatoire positive, et on passe facilement au cas où est de signe quelconque.

Exercices sur 5.3

Soit une variable aléatoire de densité $\frac{1}{2}\exp(-\vert x\vert).$ Soit un nombre réel et soit $g(x)=\exp(zx).$ Pour quelles valeurs de a-t-elle une espérance? La calculer quand elle existe.
une variable aléatoire de densité $\frac{1}{2}{\bf 1}_{[-1,1]}(x)$ et soit $Y=\tan(\frac{\pi}{2}X).$ Etudier de deux manières l'existence éventuelle de $\hbox{I\hskip -2pt E}(Y):$ soit à l'aide du théorème du transport, soit en calculant la densité de : pour cela, écrire d'abord la fonction de répartition de puis dériver.