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Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. next up previous
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Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit.

Définition Soit $ (X_1,\ldots,X_N)$ une suite de v.a. sur $ (\Omega,\mathcal{A},P)$. On se rappelle que si $ \mathcal{B}$ est la tribu de Borel, alors par définition des variables aléatoires $ X_j^{-1}(\mathcal{B})=\mathcal{A}_j$ est une sous tribu de $ \mathcal{A}.$

Nous dirons que c'est une suite de variables aléatoires indépendantes si la famille de sous tribus $ \{\mathcal{A}_1,\ldots,\mathcal{A}_N\} $ est une famille indépendante.

Ceci entraîne un fait simple et utile: si les $ X_j$ sont des v.a. indépendantes, et si $ f_j$ est une fonction réelle quelconque, alors les $ Y_j=f_j(X_j)$ sont des v.a. indépendantes aussi.

Dans le théorème suivant, qui sert à caractériser l'indépendance pratiquement, contentons nous de $ N=2:$ la généralisation $ N>2$ est évidente.

Théorème 5.7 Soit $ X$ et $ Y$ deux variables aléatoires sur $ (\Omega,\mathcal{A},P)$. Alors elles sont indépendantes si et seulement si pour tous $ x$ et $ y$ réels on a

$\displaystyle P(X\leq x; Y\leq y)=F_X(x)F_Y(y)=P(X\leq x)P(Y\leq y).$

En particulier, si elles sont discrètes de lois respectives

$\displaystyle P_X=\sum _{i\geq 1}p_i\delta_{a_i}, P_Y=\sum _{j\geq 1}q_j\delta_{b_j},$

alors elles sont indépendantes si et seulement si pour tout couple $ (i,j)$ on a

$\displaystyle P(X=a_i;Y=b_j)=p_iq_j=P(X=a_i)P(Y=b_j) .$

$  $

Démonstration Partie $ \Rightarrow.$ Introduisons les évènements $ A=\{X\leq x\}\in X^{-1}(\mathcal{B})$ et $ B=\{Y\leq y\}\in X^{-1}(\mathcal{B}).$ Par hypothèse ils sont indépendants.

Partie $ \Leftarrow.$ Elle n'est pas élémentaire et sera montrée en 3 ème année.

Toutefois, dans le cas discret de la seconde partie la démonstration directe est facile.

Voici enfin un théorème d'une importance considérable.

Théorème 5.8 Soit $ (X_1,\ldots,X_N)$ une suite de v.a. indépendantes sur $ (\Omega,\mathcal{A},P)$. Alors le produit $ X_1\cdots X_N$ a une espérance si et seulement si chaque $ X_j$ a une espérance. Dans ces conditions l'espérance du produit est le produit des espérances:

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X_1\cdots X_N)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X_1)\cdots\hbox{I\hskip -2pt E}(X_N).$

$  $

Démonstration On le démontre d'abord pour $ N=2$, et une récurrence permet de passer au cas de $ N$ quelconque. Pour $ N=2$, notons $ X=X_1$ et $ Y=X_2$ pour simplifier. On le démontre d'abord dans le cas où $ X$ et $ Y$ sont étagées. Ceci fait, on suppose ensuite que $ X$ et $ Y$ sont positives. Il est facile de construire deux suites croissantes $ (X_n)$ et $ (Y_n)$ de v.a. étagées qui sont de plus indépendantes. Comme $ (X_nY_n)$ est à son tour une suite de v.a. qui croit vers $ XY$, on arrive au résultat. Quant au passage au cas où les $ X$ et $ Y$ ne sont plus positives, il est standard.

Exercices sur 5.4

  1. Soit $ X$ et $ Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans les entiers $ \geq 0$ de lois respectives données par $ P(X=n)=(1-p)^np$ et $ P(Y=n)=(1-q)^nq$, où $ p$ et $ q$ sont dans $ ]0,1[.$ Montrer à l'aide de la deuxième partie du Th. 5.7 que $ U=X-Y$ et $ V=\mathrm{min}(X,Y)$ sont indépendantes.
  2. Soit une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi $ \frac{1}{2}\delta_{-1}+\frac{1}{2}\delta_{1}.$ Calculer l'espérance du carré du déterminant de cette matrice.
$  $


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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