Nous allons nous concentrer pour un moment sur les variables à valeurs
dans l'ensemble des entiers Dans ce cas les
moments seront plus faciles à calculer grâce à l'introduction de la
notion de fonction génératrice de :
Théorème 6.6 Soit une v.a. à valeurs dans de loi.
On désigne par la somme de la série entière
de rayon de convergence . Alors
et, pour on a
.
Pour tout on a
En particulier,
la connaissance de donne la connaissance de la loi de .
Pour tout le moment d'ordre existe si et seulement si la dérivée à gauche
d'ordre au point 1 de la fonction
définie sur
existe et est finie. Dans ce cas,
en particulier
,
Si
sont des variables aléatoires indépendantes
à valeurs dans et si
alors pour :
c'est-à-dire que la fonction génératrice d'une somme est le produit des
fonctions génératrices.
Démonstration Il est clair que la série entière converge pour
puisque
et donc que . Donc
Ensuite, si la série est absolument convergente. Pour le 2), cela découle
du lien entre la formule de Taylor et la somme d'une série entière.
Le 3) est plus délicat. Nous le montrons pour . Le principe pour quelconque
est le même. Supposons d'abord que
existe, c'est-à-dire, d'après la
proposition 5.4, que
converge. Montrons qu'alors la dérivée
à gauche en 1 de existe et est finie. Celle ci est définie comme la limite quand
croît vers 1 de la fonction
Or si
on a
. Comme
converge la série précédente converge
normalement et sa limite est pour tendant vers 1 est
Inversement, supposons que la dérivée à gauche en 1, notée existe.
Appliquons le théorème des accroissement finis à l'intervalle
et à la fonction Il existe donc
tel que
Ceci tend vers une
limite finie si croit vers 1 par hypothèse. Il est clair puisque tend vers
1 avec , que cette limite est supérieure ou égale à toutes les
sommes partielles de la série
, ce qui prouve que cette série converge.
Enfin, trivialement,
ce qui montre finalement que
Le 4) est une conséquence immédiate du fait que si les
sont indépendants,
alors les sont indépendants, et que l'espérance du
produit de variables indépendantes est le produit des espérances:
Commentaires: la démonstration du 3) n'est pas facile si
comme on l'a vu. Si , c'est simple et immédiat par le
théorème de dérivation d'une série entière à l'intérieur de l'intervalle de
convergence.
Nous étudions maintenant 4 exemples fondamentaux de lois sur
Définition - Proposition Pour c'est la loi
Sa fonction génératrice est
, son espérance est
et sa variance est
Sa fonction génératrice est d'après la formule du binôme,
. Donc en prenant sa dérivée à l'ordre 1, son espérance est donc
Quant à sa variance, c'est
On remarque que si et
sont indépendantes et de lois respectives et , alors
la loi de est
comme on le voit par la fonction génératrice.
Un bon moyen de retenir ces résultats sur la loi binomiale est d'observer
que si
sont des variables aléatoires indépendantes de
même loi de Bernoulli , alors
est de loi
binomiale comme on le voit par la fonction génératrice
Définition - PropositionPour ,
c'est la loi définie par
Sa fonction génératrice est
son espérance et sa
variance sont toutes deux égales à
On remarque que si
et
sont indépendantes et de lois respectives
et
, alors
la loi de est
comme on le voit
par la fonction génératrice.
La manière la plus courante de
rencontrer cette loi de Poisson dans la nature est en tant qu'approximation de la loi
binomiale. En effet, la suite de lois
tend vers
dans le sens suivant: pour tout entier on a
Pour le voir, on observe que la suite du premier membre est
Le premier produit tend vers , comme quotient de deux polynômes de
de degré ayant même terme de plus haut degré. Il est clair que toute
l'expression tend vers
si tend vers l'infini, par la formule connue
Définition - Proposition Dans le schéma Succès Echec infini, intéressons nous à la loi du temps d'attente
du premier succès , soit
La loi de se calcule facilement en remarquant que dire que est dire
que les premiers essais ont été des échecs, un évènement de probabilité
Donc, puisque
la loi de , dite loi de Pascal, ou loi géométrique, est
Sa fonction génératrice est la fonction homographique
sa moyenne est un résultat qu'il est bon
de retenir. Quant à sa variance, c'est
Si ensuite on s'intéresse au temps d'attente du ième succès, il est intuitivement
clair, bien que pas si facile à montrer rigoureusement, que c'est la somme
de variables aléatoires indépendantes, de même loi que
: la v.a. représente l'intervalle de temps entre les ième
et ième succès. La fonction génératrice est donc
la moyenne et la variance
Toutefois, la loi de est concentrée sur les entiers
supérieurs ou égaux à , et il y a avantage en vue d'une généralisation
à considérer plutôt la loi de , concentrée sur , de fonction génératrice
en développant selon la formule du binôme de Newton. Cela entraîne donc que
si
une formule difficile à retenir.
Maintenant, on peut généraliser la loi de en remplaçant
le paramètre entier par le paramètre continu positif
L'interprétation probabiliste disparait, mais les formules demeurent.
On introduit donc la loi dite négative-binomiale définie par:
Définition - Proposition est la loi
définie pour et par
Une variable aléatoire qui suit une telle loi est donc telle que si
sa fonction génératrice est
, sa moyenne est
et sa variance est
Exercices sur 6.2
Montrer que si deux dés sont marqués sur leurs faces
il est
impossible de les piper de sorte que la somme de leur points
soit telle que
pour
Méthode: montrer que les fonctions
génératrices et sont telles que
et sont des polynmes ayant au moins un zéro réel,
et que
n'a que des zéros imaginaires.
Une fonction génératrice est telle que
Quelle est la probabilité pour que Est ce que
existe?
Soit et deux variables aléatoires indépendantes qui suivent
des lois de Pascal pas nécessairement identiques. Soit
Calculer pour fixé
, , , . Montrer que suit une loi de Pascal.
Exprimer sa moyenne en fonction des moyennes de et .