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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

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Loi forte grd nbre

Nains magiques

Les variables aléatoires à valeurs entières.

suivant: Transformée de Laplace d'une monter: Moments, fonctions génératrices, transformées précédent: Moments et variance

Les variables aléatoires à valeurs entières.

Nous allons nous concentrer pour un moment sur les variables à valeurs dans l'ensemble ${\bf N}$ des entiers $\geq 0.$ Dans ce cas les moments seront plus faciles à calculer grâce à l'introduction de la notion de fonction génératrice de :

Théorème 6.6 Soit une v.a. à valeurs dans ${\bf N}$ de loi $P_X=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n\delta_n$ . On désigne par la somme de la série entière

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}p_nz^n$

de rayon de convergence

. Alors

$R\geq 1$ et, pour $\vert z\vert\leq 1$ on a $f_X(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(z^X)$ .
Pour tout on a $p_n=\frac{1}{n!}f_X^{(n)}(0).$ En particulier, la connaissance de donne la connaissance de la loi de .
Pour tout le moment d'ordre $\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)$ existe si et seulement si la dérivée à gauche d'ordre au point 1 de la fonction $z\mapsto f_X(z)$ définie sur existe et est finie. Dans ce cas,

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X(X-1)\cdots(X-n+1))=f_X^{(n)}(1)=\sum_{k=n}^{\infty}k(k-1)\cdots(k-n+1)p_n;$
en particulier $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)= f_X'(1)$ , $\hbox{I\hskip -2pt E}(X^2)=f_X''(1)+f_X'(1).$
Si $X_1,X_2,\ldots, X_N$ sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ${\bf N}$ et si $S=X_1+X_2+\cdots+ X_N$ alors pour $\vert z\vert\leq 1$ :

$\displaystyle f_S(z)=f_{X_1}(z)\cdots f_{X_N}(z),$
c'est-à-dire que la fonction génératrice d'une somme est le produit des fonctions génératrices.

Démonstration Il est clair que la série entière converge pour puisque $\sum_{n=0}^{+\infty}p_n=1$ et donc que . Donc $R\geq 1.$ Ensuite, si $\vert z\vert=1$ la série est absolument convergente. Pour le 2), cela découle du lien entre la formule de Taylor et la somme d'une série entière.

Le 3) est plus délicat. Nous le montrons pour . Le principe pour quelconque est le même. Supposons d'abord que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe, c'est-à-dire, d'après la proposition 5.4, que $\sum_{n=0}^{+\infty}np_n$ converge. Montrons qu'alors la dérivée à gauche en 1 de existe et est finie. Celle ci est définie comme la limite quand croît vers 1 de la fonction

$\displaystyle \frac{f_X(z)-f_X(1)}{z-1}=\frac{1-f_X(z)}{1-z}= \sum_{n=0}^{+\infty}p_n\frac{1-z^n}{1-z}= \sum_{n=0}^{+\infty}p_n(1+z+\cdots+z^{n-1}).$

Or si $0\leq z\leq 1$ on a $1+z+\cdots+z^{n-1}\leq n$ . Comme $\sum_{n=0}^{+\infty}np_n$ converge la série précédente converge normalement et sa limite est pour

tendant vers 1 est $\hbox{I\hskip -2pt E}(X).$

Inversement, supposons que la dérivée à gauche en 1, notée existe. Appliquons le théorème des accroissement finis à l'intervalle et à la fonction Il existe donc $c\in ]z,1[$ tel que

$\displaystyle \frac{1-f_X(z)}{1-z}=f_X'(c)=\sum_{n=1}^{+\infty}np_nc^{n-1}.$

Ceci tend vers une limite finie si

croit vers 1 par hypothèse. Il est clair puisque

tend vers 1 avec

, que cette limite est supérieure ou égale à toutes les sommes partielles de la série $\sum_{n=0}^{+\infty}np_n$ , ce qui prouve que cette série converge. Enfin, trivialement,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}p_nc^{n-1}\leq \sum_{n=1}^{+\infty}np_n,$

ce qui montre finalement que $f_X'(1)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X).$

Le 4) est une conséquence immédiate du fait que si les sont indépendants, alors les $z^{X_j}$ sont indépendants, et que l'espérance du produit de variables indépendantes est le produit des espérances:

$\displaystyle f_S(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(z^{X_1+\cdots+X_N})=\hbox{I\hskip -2... ...pt E}(z^{X_1})\cdots\hbox{I\hskip -2pt E}(z^{X_N})=f_{X_1}(z)\cdots f_{X_N}(z).$

Commentaires: la démonstration du 3) n'est pas facile si comme on l'a vu. Si , c'est simple et immédiat par le théorème de dérivation d'une série entière à l'intérieur de l'intervalle de convergence.

Nous étudions maintenant 4 exemples fondamentaux de lois sur ${\bf N}.$

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi de Bernoulli $B_{1,p}$.}$ Pour c'est la loi

$\displaystyle B_{1,p}=(1-p)\delta_0+p\delta_1.$

Sa fonction génératrice

est

, son espérance

est

et sa variance

est

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi binomiale $B_{N,p}$.}$ C'est la loi du nombre de succès dans le schéma Succès Echec fini à essais:

$\displaystyle B_{N,p}=\sum_{k=0}^NC_N^k(1-p)^{N-k}p^k\delta_k.$

Sa fonction génératrice

est d'après la formule du binôme

. Donc en prenant sa dérivée à l'ordre 1, son espérance

est donc

Quant à sa variance

, c'est

On remarque que si et sont indépendantes et de lois respectives $B_{N,p}$ et $B_{M,p}$ , alors la loi de est $B_{N+M,p},$ comme on le voit par la fonction génératrice.

Un bon moyen de retenir ces résultats sur la loi binomiale est d'observer que si $X_1,\ldots,X_N$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli $B_{1,p}$ , alors $S=X_1+\cdots+X_N$ est de loi binomiale $B_{N,p}$ comme on le voit par la fonction génératrice

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi de Poisson $\mathcal{P}_{\lambda}$. }$ Pour $\lambda>0$ , c'est la loi définie par

$\displaystyle \mathcal{P}_{\lambda}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}\delta_n.$

Sa fonction génératrice est $f(z)=\exp(\lambda(z-1)),$ son espérance

et sa variance

sont toutes deux égales à $\lambda.$

On remarque que si et sont indépendantes et de lois respectives $\mathcal{P}_{\lambda}$ et $\mathcal{P}_{\mu}$ , alors la loi de est $\mathcal{P}_{\lambda+\mu},$ comme on le voit par la fonction génératrice.

La manière la plus courante de rencontrer cette loi de Poisson dans la nature est en tant qu'approximation de la loi binomiale. En effet, la suite de lois $B_{N,\lambda/N}$ tend vers $\mathcal{P}_{\lambda}$ dans le sens suivant: pour tout entier on a

$\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}B_{N,\lambda/N}(\{k\})= \mathcal{P}_{\lambda}(\{k\}).$

Pour le voir, on observe que la suite du premier membre est

$\displaystyle C_N^k(1-\frac{\lambda}{N})^{N-k}(\frac{\lambda}{N})^k= \frac{N(N... ...{N^k} (1-\frac{\lambda}{N})^{-k}\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{N})^{N}.$

Le premier produit tend vers

, comme quotient de deux polynômes de

de degré

ayant même terme de plus haut degré. Il est clair que toute l'expression tend vers $\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ si

tend vers l'infini, par la formule connue $\lim_{N\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{N})^N=\exp x.$

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi de Pascal et la loi négative binomiale.}$ Dans le schéma Succès Echec infini, intéressons nous à la loi du temps d'attente du premier succès , soit $T_1(\omega)=\mathrm{inf} \{n ; \omega_j=S\}.$ La loi de se calcule facilement en remarquant que dire que est dire que les premiers essais ont été des échecs, un évènement de probabilité Donc, puisque

$\displaystyle P(T_1=n)=P(T_1>n-1)-P(T_1>n)=(1-p)^{n-1}-(1-p)^n=(1-p)^{n-1}p,$

la loi de

, dite loi de Pascal, ou loi géométrique, est

$\displaystyle P_{T_1}=p\delta_1+(1-p)p\delta_2+\cdots+(1-p)^{n-1}p\delta_n+\cdots$

Sa fonction génératrice est la fonction homographique $f_{T_1}(z)=\frac{pz}{1-(1-p)z},$ sa moyenne est un résultat qu'il est bon de retenir. Quant à sa variance, c'est $\sigma^2(T_1)= (1-p)/p^2.$

Si ensuite on s'intéresse au temps d'attente du ième succès, il est intuitivement clair, bien que pas si facile à montrer rigoureusement, que c'est la somme de variables aléatoires indépendantes $I_1,\ldots,I_k$ , de même loi que : la v.a. représente l'intervalle de temps entre les ième et ième succès. La fonction génératrice est donc $f_{T_k}(z)=(\frac{pz}{1-(1-p)z})^k,$ la moyenne et la variance Toutefois, la loi de est concentrée sur les entiers supérieurs ou égaux à , et il y a avantage en vue d'une généralisation à considérer plutôt la loi de , concentrée sur ${\bf N}$ , de fonction génératrice

$\displaystyle f_{T_k-k}(z)=(\frac{p}{1-(1-p)z})^k= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}k(k+1)\cdots(k+n-1)p^k(1-p)^nz^n,$

en développant selon la formule du binôme de Newton. Cela entraîne donc que si $n\geq k:$

$\displaystyle P(T_k=n)=P(T_k-k=n-k)=\frac{1}{(n-k)!}k(k+1)\cdots(n-1)p^k(1-p)^{n-k}= C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k},$

une formule difficile à retenir.

Maintenant, on peut généraliser la loi de en remplaçant le paramètre entier par le paramètre continu positif $\lambda.$ L'interprétation probabiliste disparait, mais les formules demeurent. On introduit donc la loi dite négative-binomiale définie par:

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi négative binomiale}$ est la loi $NB_{\lambda,p}$ définie pour $\lambda>0$ et par

$\displaystyle NB_{\lambda,p}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+n-1)p^{\lambda}(1-p)^n\delta_n.$

Une variable aléatoire qui suit une telle loi est donc telle que si $n\in {\bf N}:$

$\displaystyle P(X=n)=\frac{1}{n!} \lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+n-1)p^{\lambda}(1-p)^n,$

sa fonction génératrice

est $f_X(z)=(\frac{p}{1-(1-p)z})^{\lambda}$ , sa moyenne est $\lambda(1-p)/p$ et sa variance

est $\lambda(1-p)/p^2.$

Exercices sur 6.2

Montrer que si deux dés sont marqués sur leurs faces il est impossible de les piper de sorte que la somme de leur points soit telle que $P(X+Y=n)=\frac{1}{11}$ pour $n=2,3,\ldots, 12.$ Méthode: montrer que les fonctions génératrices et sont telles que et sont des polynmes ayant au moins un zéro réel, et que $f_{X+Y}(z)/z^2$ n'a que des zéros imaginaires.
Une fonction génératrice est telle que $f_X(z)=(1-\sqrt{1-z})/z.$ Quelle est la probabilité pour que Est ce que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe?
Soit et deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Pascal pas nécessairement identiques. Soit $Z=\mathrm{min}(X,Y).$ Calculer pour fixé , , , . Montrer que suit une loi de Pascal. Exprimer sa moyenne en fonction des moyennes de et .