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Transformée de Laplace d'une variable aléatoire.

monter: Moments, fonctions génératrices, transformées précédent: Les variables aléatoires à

Transformée de Laplace d'une variable aléatoire.

Théorème 6.7 Soit une variable aléatoire. Soit l'ensemble des réels tels que $L_X(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(e^{zX})$ existe. La fonction $z\mapsto L_X(z)$ définie sur est appelée la transformée de Laplace de . Alors

L'ensemble est un intervalle contenant
Si 0 est dans l'intérieur de la transformée de Laplace est développable en série entière et les coefficients de cette série sont les $L_X^{(n)}(0)/n!=\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)/n!:$

$\displaystyle L_X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)}{n!}z^n.$
Si est de longueur positive, la loi de est caractérisée par sa transformée de Laplace. Plus précisément, si $I_X\cap I_Y$ est de longueur positive et si sur cet intervalle, alors et sont de même loi.
Si et sont indépendantes, alors $I_{X+Y}=I_X\cap I_Y$ et , pour dans cet intervalle: $L_{X+Y}(z)=L_X(z)L_Y(z).$
Si et sont réels avec $a\neq 0$ alors $I_{aX+b}=\frac{1}{a}I_X$ et $L_{aX+b}(z)=\exp(bz)L_X(az).$

Démonstration 1) Il est clair que $0\in I_X$ . Si ou si et si $z\in I_X,$ montrons que $s\in I_X.$ Cela vient du fait que $\exp (sX)\leq 1+ \exp (zX),$ comme on le voit en examinant les 4 cas $X\geq 0$ et , et

2) Si $[-a,a]\subset I_X$ avec alors comme $\exp (a\vert X\vert)<\exp (aX)+\exp(-aX)$ on en déduit que $\hbox{I\hskip -2pt E}(\exp (a\vert X\vert))$ existe, et donc $\hbox{I\hskip -2pt E}(\exp\vert zX\vert)$ existe pour tout $\vert z\vert\leq a.$ D'où pour un tel

$\displaystyle \left\vert L_X(z)-\sum_{n=0}^{N}\frac{\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)}... ...vert\hbox{I\hskip -2pt E}(\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{(Xz)^n}{n!}\right\vert\leq$

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{\vert Xz\ve... ...ert-\sum_{n=0}^{N}\frac{\vert Xz\vert^n}{n!}\right)=\hbox{I\hskip -2pt E}(Y_N).$

La variable aléatoire décroit vers 0: un théorème de 3ème année dit que cela suffit pour entraîner que $\lim_{N\rightarrow \infty}\hbox{I\hskip -2pt E}(Y_N)=0;$ ce qui achève la démonstration du 2).

La partie 3) est beaucoup plus difficile et nous admettrons ce résultat.

La partie 4) est une conséquence du théorème 5.8 appliqué à et à $(X_1,X_2)=(\exp(zX),\exp(zY)).$ La partie 5) est immédiate.

A cause du 2) on appelle parfois la transformée de Laplace la fonction génératrice des moments. C'est à éviter, pour ne pas confondre avec la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans ${\bf N}.$ D'ailleurs, pour un tel , les deux notions sont reliées par $f_X(\exp z)=L_X(z)$ et l'intérieur de est alors $]-\infty, \log R[$ où est le rayon de convergence de la série entière de somme Les transformées de Laplace sont surtout utilisées pour caractériser des v.a. à densité. Nous en donnons 3 exemples importants.

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi normale $N_{m,\sigma^2}$.}$ C'est la loi la plus importante du calcul des probabilités. On l'appelle aussi une loi gaussienne, une loi de Laplace-Gauss, ou encore une seconde loi de Laplace. Si $m\in \hbox{I\hskip -2pt R}$ et si $\sigma>0,$ elle est définie par sa densité:

$\displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}.$

Le fait que ce soit une densité de probabilité n'est pas évident, car il faut vérifier que l'intégrale de cette fonction est 1. Si on l'admet pour le cas et $\sigma=1$ , on se ramène facilement à ce cas particulier en posant $x=\sigma y +m.$ Cette remarque permet alors de montrer que la transformée de Laplace d'une variable aléatoire de loi $N_{0,1}$ est

$\displaystyle L_Y(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(e^{zY})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}+zy}dy= e^{\frac{z^2}{2}}.$

Pour voir cette dernière égalité il suffit d'écrire que la densité de $N_{z,1}$ est d'intégrale 1. Remarquons que l'intervalle d'existence est $I_Y=\hbox{I\hskip -2pt R}$

Ensuite, on remarque que si est de loi $N_{0,1}$ , alors $X=\sigma Y +m$ est de loi $N_{m,\sigma^2}$ . Pour le voir, il suffit d'écrire la fonction de répartition de de la manière suivante:

$\displaystyle F_X(x)=P(\sigma Y +m\leq x)=P(Y\leq \frac{x-m}{\sigma})= F_Y(\frac{x-m}{\sigma});$

on dérive alors les deux membres extrêmes de la ligne ci dessus: à gauche on obtient la densité cherchée de

, à droite en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées et le fait que la densité de

est par hypothèse $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$ : ceci fournit pour

la densité de la loi $N_{m,\sigma^2}$ comme annoncé.

Enfin, pour avoir la transformée de Laplace de à partir de on utilise le 5) du théorème 6.7 pour obtenir que si est de loi $N_{m,\sigma^2}$ , alors

$\displaystyle L_X(z)=\exp({\frac{\sigma^2z^2}{2}+mz}).$

On déduit du 2) du théorème 6.7 qu'alors $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)=m$

et que $\sigma^2(X)=\sigma^2$

. On déduit aussi des 3) et 4) du théorème 6.7 que si

sont des variables aléatoires indépendantes et de lois respectives $N_{m_1,\sigma_1^2}$ et $N_{m_1,\sigma_2^2}$ , alors

est de loi $N_{m_1+m_2,\sigma^2_1+\sigma_2^2}.$

A propos de fonction de répartition, il faut noter que la fonction de répartition $\Phi$ de la loi $N_{0,1}$ , soit

$\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{y^2}{2}}dy,$

n'est pas élémentaire. Elle est tabulée dans tous les ouvrages.

On rencontre la loi $N_{0,1}$ dans la nature comme approximation de bien des lois. La plus ancienne est l'approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale:

Théorème Approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale Si est de loi $B_{N,p}$ , alors la loi de $\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$ tend vers la loi $N_{0,1}$ dans le sens suivant: pour tout intervalle on a

$\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty} P\left(a\leq\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}\leq b\right)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{y^2}{2}}dy.$

Une autre présentation de ce théorème de Moivre Laplace est donc

$\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty} P\left(a\sqrt{Np(1-p)}+Np\leq X\leq b\sqrt{Np(1-p)}+Np\right)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{y^2}{2}}dy.$

C'est dire que $P\left(a\sqrt{Np(1-p)}+Np\leq X\leq b\sqrt{Np(1-p)}+Np\right)$ est approchée par $\Phi(b)-\Phi(a).$ Cette approximation est à la base de la statistique.

La démonstration de ce résultat n'est pas élémentaire. Toutefois, l'usage des transformées de Laplace le rend plausible; avec le théorème 6.7, partie 5):

$\displaystyle L_{\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}}(z)= (1-p+p\frac{z}{\sqrt{Np(1-p)... ...ac{-Npz}{\sqrt{Np(1-p)}} \rightarrow_{N\rightarrow \infty} \exp \frac{z^2}{2},$

par un calcul de développement limité.

Définition - Proposition $\fbox{\bf Les lois gamma $\gamma_{p,q}$.}$ La loi exponentielle $\gamma_{1,q}$ de moyenne est la plus importante des lois à densité après la loi normale. Elle est concentrée sur la demi droite positive, sa fonction de répartition est pour $F(x)=1-\exp(-x/q)$ et en dérivant , sa densité est

$\displaystyle \frac{1}{q}\exp(-x/q){\bf 1}_{]0,+\infty[}(x).$

On la rencontre dans la nature car c'est une loi sans mémoire: si suit une loi exponentielle de moyenne et si et sont , alors

$\displaystyle P(X>x+y\vert X>y)=\frac{P(X>x+y)}{P(X>y)}=\frac{1-F(x+y)}{1-F(y)}= \exp(-x/q)=P(X>x).$

Par exemple une ampoule électrique ne s'use pas, et le fait que nous sachions qu'elle a déjà duré un temps

ne nous donne aucune information pour savoir si elle va durer au moins un temps

à partir de maintenant.

La transformée de Laplace d'une variable aléatoire de loi exponentielle existe sur $I_X=]-\infty , 1/q[$ et est égale à $L_X(z)=\frac{1}{1-qz}.$ Ceci montre avec le théorème 6.7, 2), que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)=q$ , $\hbox{I\hskip -2pt E}(X^2)=2q^2$ et, par la formule de Huyghens, que $\sigma^2(X)=q^2$ .

Si est un nombre entier positif et si $X_1,\cdots,X_p$ sont des v.a. indépendantes et de même loi $\gamma_{1,q}$ , la transformée de Laplace de $X_1+\cdots+X_p$ est donc $(\frac{1}{1-qz})^p$ sur $]-\infty , 1/q[$ . Comme la transformée de Laplace détermine la loi, il suffit de montrer (par une intégration par parties qui permet de faire une récurrence sur ) que

$\displaystyle \frac{1}{(p-1)!}\int_0^{+\infty}\exp(zx-x/q)q^{-p}x^{p-1}dx=(\frac{1}{1-qz})^p$

pour en déduire que la densité

de $X_1+\cdots+X_p$ est

$\displaystyle \frac{1}{(p-1)!}\int_0^{+\infty}\exp(-x/q)q^{-p}x^{p-1}{\bf 1}_{]0,+ \infty[}(x):$

c'est la densité de la loi $\gamma_{p,q}$ .

En fait, comme pour la loi négative binomiale qui a été obtenue par une interpolation des entiers, il est possible dans la loi $\gamma_{p,q}$ de remplacer le paramètre entier par le paramètre . Pour cela on introduit une importante fonction de appelée fonction Gamma d'Euler et définie pour par

$\displaystyle \Gamma(p)=\int_0^{+\infty}\exp(-x)x^{p-1}dx.$

Une intégration par parties montre que $\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$ . Comme $\Gamma(1)=1$ on en tire que si

est entier $\Gamma(p)=(p-1)!$ : cette fonction Gamma interpole les factorielles.

On définit alors la loi $\gamma_{p,q}$ pour non nécessairement entier par sa densité :

$\displaystyle \frac{1}{\Gamma}\int_0^{+\infty}\exp(-x/q)q^{-p}x^{p-1}{\bf 1}_{]0,+ \infty[}(x)$

qui a pour transformée de Laplace $(\frac{1}{1-qz})^p.$ On déduit de cette transformée de Laplace que la moyenne est

et que la variance est

On appelle

le paramètre de forme et

le paramètre d'échelon. En effet, on voit facilement, soit avec les fonctions de répartition, soit avec les transformées de Laplace, que si

est de loi $\gamma_{p,1}$ alors

est de loi $\gamma_{p,q}.$ Changer

est un simple changement d'unités de mesure, changer

change de façon importante l'allure de la densité.

Définition - Proposition $\fbox{\bf La loi uniforme sur $[a,b].$}$ C'est la loi $U_{[a,b]}$ , de densité $\frac{1}{b-a}{\bf 1}_{[a,b]}(x).$ Sa fonction de répartition est nulle si , égale à $\frac{x-a}{b-a}$ si $x\in [a,b]$ et égale si

Il est facile de voir que si est de loi $U_{[0,1]}$ alors est de loi $U_{[a,b]}$ (on dit aussi que est uniformément répartie sur La transformée de Laplace n'est pas spécialement remarquable. Pour $U_{[0,1]},$ c'est $L(z)=\frac{1}{z}(e^z-1)$ si $z\neq 0$ et Le moment d'ordre pour $U_{[0,1]}$ s'obtient directement à partir de la définition : c'est Les variables uniformes sont intensément utilisées en simulation.