Théorème 6.7 Soit
une variable aléatoire. Soit
l'ensemble des réels tels que
existe.
La fonction
définie sur
est appelée la transformée de Laplace de . Alors
L'ensemble est un intervalle contenant
Si 0 est dans l'intérieur de la transformée de Laplace est
développable en série entière et les coefficients de cette série sont les
Si est de longueur positive, la loi de est caractérisée
par sa transformée de Laplace. Plus précisément, si
est de longueur positive et si sur cet intervalle, alors et
sont de même loi.
Si et sont indépendantes, alors
et , pour
dans cet intervalle:
Si et sont réels avec alors
et
Démonstration 1) Il est clair que .
Si ou si et si
montrons que Cela vient du fait que
comme on le voit en examinant les 4 cas
et , et
2) Si
avec alors comme
on en déduit que
existe, et donc
existe pour
tout
D'où pour un tel
La variable aléatoire décroit vers 0: un théorème de 3ème année
dit que cela suffit pour entraîner que
ce qui achève la démonstration du 2).
La partie 3) est beaucoup plus difficile et nous admettrons ce résultat.
La partie 4) est une conséquence du théorème 5.8 appliqué à et à
La partie 5) est immédiate.
A cause du 2) on appelle parfois la transformée de Laplace la fonction
génératrice des moments. C'est à éviter, pour ne pas confondre avec la fonction
génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans D'ailleurs, pour
un tel , les deux notions sont reliées par
et l'intérieur
de est alors
où est le rayon de convergence de la série
entière de somme Les transformées de Laplace sont surtout utilisées
pour caractériser des v.a. à densité. Nous en donnons 3 exemples importants.
Définition - Proposition C'est la loi la plus importante du
calcul des probabilités. On l'appelle aussi une loi gaussienne, une loi de
Laplace-Gauss, ou encore une seconde loi de Laplace. Si
et si
elle est définie par sa densité:
Le fait que ce soit une densité de probabilité n'est pas évident,
car il faut vérifier que l'intégrale de cette fonction est 1. Si on l'admet
pour le cas et , on se ramène facilement à ce cas particulier
en posant
Cette remarque permet alors de montrer que
la transformée de Laplace
d'une variable aléatoire de loi est
Pour voir cette dernière égalité il suffit d'écrire que la
densité de est d'intégrale 1.
Remarquons que l'intervalle d'existence est
Ensuite, on remarque que si est de loi , alors
est de loi
. Pour le voir, il suffit d'écrire la
fonction de répartition de de la manière suivante:
on dérive alors les deux membres extrêmes de la ligne ci dessus:
à gauche on obtient la densité cherchée de , à droite en utilisant
le théorème de dérivation des fonctions composées et le fait que la
densité de est par hypothèse
: ceci fournit pour la densité
de la loi
comme annoncé.
Enfin, pour avoir la transformée de Laplace de à partir de on utilise le
5) du théorème 6.7 pour obtenir que si est de loi
, alors
On déduit du 2) du théorème 6.7 qu'alors
et que
. On déduit aussi des 3) et 4) du théorème 6.7 que
si et sont des variables aléatoires indépendantes et de lois
respectives
et
, alors
est de loi
A propos de fonction de répartition, il faut noter que la fonction de répartition
de la loi , soit
n'est pas élémentaire. Elle est tabulée dans tous les ouvrages.
On rencontre la loi dans la nature comme approximation de bien des lois.
La plus ancienne est l'approximation de Moivre Laplace de la loi
binomiale:
Théorème Approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale Si est de loi , alors la loi de
tend vers
la loi dans le sens suivant: pour tout intervalle on a
Une autre présentation de ce théorème de Moivre Laplace est donc
C'est dire que
est approchée par
Cette approximation est à la base de
la statistique.
La démonstration de ce résultat n'est pas élémentaire. Toutefois, l'usage des
transformées de Laplace le rend plausible; avec le théorème 6.7, partie 5):
par un calcul de développement limité.
Définition - Proposition
La loi exponentielle
de moyenne est la plus importante
des lois à densité après la loi normale. Elle est concentrée sur la
demi droite positive, sa fonction de répartition est pour et en dérivant , sa densité est
On la rencontre dans la nature car c'est une loi sans mémoire: si suit
une loi exponentielle de moyenne et si et sont , alors
Par exemple une ampoule électrique ne s'use pas, et le fait que nous
sachions qu'elle a déjà duré un temps ne nous donne aucune information
pour savoir si elle va durer au moins un temps à partir de maintenant.
La transformée de Laplace d'une variable aléatoire de loi exponentielle existe
sur
et est égale à
Ceci montre
avec le théorème 6.7, 2), que
,
et, par la formule de
Huyghens, que
.
Si est un nombre entier positif et si
sont des v.a.
indépendantes et de même loi
, la transformée de Laplace de
est donc
sur
.
Comme la transformée de Laplace détermine la loi, il suffit de montrer
(par une intégration par parties qui permet de faire
une récurrence sur ) que
pour en déduire que la densité de
est
c'est la densité de la loi
.
En fait, comme pour la loi négative binomiale qui a été obtenue par une
interpolation des entiers, il est possible dans la loi
de remplacer le paramètre entier par le paramètre .
Pour cela on introduit une importante fonction de appelée fonction
Gamma d'Euler
et définie pour par
Une intégration par parties montre que
. Comme
on en tire que si est entier
: cette fonction
Gamma interpole les factorielles.
On définit alors la loi
pour non nécessairement entier
par sa densité :
qui a pour transformée de Laplace
On déduit de cette transformée de Laplace que la moyenne est et que
la variance est On appelle le paramètre de forme et
le paramètre d'échelon. En effet, on voit facilement, soit avec
les fonctions de répartition, soit avec les transformées de Laplace, que
si est de loi
alors est de loi
Changer
est un simple changement d'unités de mesure, changer change de
façon importante l'allure de la densité.
Définition - Proposition C'est la loi , de densité Sa fonction de répartition
est nulle si , égale à
si
et égale
si
Il est facile de voir que si est de loi alors
est de loi (on dit aussi que est uniformément répartie sur La transformée de Laplace n'est pas
spécialement remarquable. Pour
c'est
si
et Le moment d'ordre pour s'obtient
directement à partir de la définition : c'est Les variables
uniformes sont intensément utilisées en simulation.