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Transformée de Laplace d'une variable aléatoire.

Théorème 6.7 Soit $ X$ une variable aléatoire. Soit $ I_X$ l'ensemble des $ z$ réels tels que $ L_X(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(e^{zX})$ existe. La fonction $ z\mapsto L_X(z)$ définie sur $ I_X$ est appelée la transformée de Laplace de $ X$. Alors

  1. L'ensemble $ I_X$ est un intervalle contenant $ 0.$
  2. Si 0 est dans l'intérieur de $ I_X,$ la transformée de Laplace est développable en série entière et les coefficients de cette série sont les $ L_X^{(n)}(0)/n!=\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)/n!:$

    $\displaystyle L_X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)}{n!}z^n.$

  3. Si $ I_X$ est de longueur positive, la loi de $ X$ est caractérisée par sa transformée de Laplace. Plus précisément, si $ I_X\cap I_Y$ est de longueur positive et si $ L_X=L_Y$ sur cet intervalle, alors $ X$ et $ Y$ sont de même loi.
  4. Si $ X$ et $ Y$ sont indépendantes, alors $ I_{X+Y}=I_X\cap I_Y$ et , pour $ z$ dans cet intervalle: $ L_{X+Y}(z)=L_X(z)L_Y(z).$
  5. Si $ a$ et $ b$ sont réels avec $ a\neq 0$ alors $ I_{aX+b}=\frac{1}{a}I_X$ et $ L_{aX+b}(z)=\exp(bz)L_X(az).$

$  $

Démonstration 1) Il est clair que $ 0\in I_X$. Si $ 0<s<z$ ou si $ z<s<0$ et si $ z\in I_X,$ montrons que $ s\in I_X.$ Cela vient du fait que $ \exp (sX)\leq 1+ \exp (zX),$ comme on le voit en examinant les 4 cas $ X\geq 0$ et $ X<0$, $ z>0$ et $ z<0.$

2) Si $ [-a,a]\subset I_X$ avec $ a>0,$ alors comme $ \exp (a\vert X\vert)<\exp (aX)+\exp(-aX)$ on en déduit que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(\exp (a\vert X\vert))$ existe, et donc $ \hbox{I\hskip -2pt E}(\exp\vert zX\vert)$ existe pour tout $ \vert z\vert\leq a.$ D'où pour un tel $ z$

$\displaystyle \left\vert L_X(z)-\sum_{n=0}^{N}\frac{\hbox{I\hskip -2pt E}(X^n)}...
...vert\hbox{I\hskip -2pt E}(\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{(Xz)^n}{n!}\right\vert\leq$

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}\left(\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{\vert Xz\ve...
...ert-\sum_{n=0}^{N}\frac{\vert Xz\vert^n}{n!}\right)=\hbox{I\hskip -2pt E}(Y_N).$

La variable aléatoire $ Y_N$ décroit vers 0: un théorème de 3ème année dit que cela suffit pour entraîner que $ \lim_{N\rightarrow \infty}\hbox{I\hskip -2pt E}(Y_N)=0;$ ce qui achève la démonstration du 2).

La partie 3) est beaucoup plus difficile et nous admettrons ce résultat.

La partie 4) est une conséquence du théorème 5.8 appliqué à $ N=2$ et à $ (X_1,X_2)=(\exp(zX),\exp(zY)).$ La partie 5) est immédiate.

A cause du 2) on appelle parfois la transformée de Laplace la fonction génératrice des moments. C'est à éviter, pour ne pas confondre avec la fonction génératrice d'une variable aléatoire $ X$ à valeurs dans $ {\bf N}.$ D'ailleurs, pour un tel $ X$, les deux notions sont reliées par $ f_X(\exp z)=L_X(z)$ et l'intérieur de $ I_X$ est alors $ ]-\infty, \log R[$$ R$ est le rayon de convergence de la série entière de somme $ f_X.$ Les transformées de Laplace sont surtout utilisées pour caractériser des v.a. à densité. Nous en donnons 3 exemples importants.

Définition - Proposition \fbox{\bf La loi normale $N_{m,\sigma^2}$.} C'est la loi la plus importante du calcul des probabilités. On l'appelle aussi une loi gaussienne, une loi de Laplace-Gauss, ou encore une seconde loi de Laplace. Si $ m\in \hbox{I\hskip -2pt R}$ et si $ \sigma>0,$ elle est définie par sa densité:

$\displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}.$


Le fait que ce soit une densité de probabilité n'est pas évident, car il faut vérifier que l'intégrale de cette fonction $ >0$ est 1. Si on l'admet pour le cas $ m=0$ et $ \sigma=1$, on se ramène facilement à ce cas particulier en posant $ x=\sigma y +m.$ Cette remarque permet alors de montrer que la transformée de Laplace d'une variable aléatoire $ Y$ de loi $ N_{0,1}$ est

$\displaystyle L_Y(z)=\hbox{I\hskip -2pt E}(e^{zY})=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}+zy}dy=
e^{\frac{z^2}{2}}.$

Pour voir cette dernière égalité il suffit d'écrire que la densité de $ N_{z,1}$ est d'intégrale 1. Remarquons que l'intervalle d'existence est $ I_Y=\hbox{I\hskip -2pt R}$

Ensuite, on remarque que si $ Y$ est de loi $ N_{0,1}$, alors $ X=\sigma Y +m$ est de loi $ N_{m,\sigma^2}$. Pour le voir, il suffit d'écrire la fonction de répartition de $ X$ de la manière suivante:

$\displaystyle F_X(x)=P(\sigma Y +m\leq x)=P(Y\leq \frac{x-m}{\sigma})=
F_Y(\frac{x-m}{\sigma});$

on dérive alors les deux membres extrêmes de la ligne ci dessus: à gauche on obtient la densité cherchée de $ X$, à droite en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées et le fait que la densité de $ Y$ est par hypothèse $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$: ceci fournit pour $ X$ la densité de la loi $ N_{m,\sigma^2}$ comme annoncé.

Enfin, pour avoir la transformée de Laplace de $ X$ à partir de $ Y$ on utilise le 5) du théorème 6.7 pour obtenir que si $ X$ est de loi $ N_{m,\sigma^2}$, alors

$\displaystyle L_X(z)=\exp({\frac{\sigma^2z^2}{2}+mz}).$

On déduit du 2) du théorème 6.7 qu'alors $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=m$ et que $ \sigma^2(X)=\sigma^2$. On déduit aussi des 3) et 4) du théorème 6.7 que si $ X_1$ et $ X_2$ sont des variables aléatoires indépendantes et de lois respectives $ N_{m_1,\sigma_1^2}$ et $ N_{m_1,\sigma_2^2}$, alors $ X_1+X_2$ est de loi $ N_{m_1+m_2,\sigma^2_1+\sigma_2^2}.$

A propos de fonction de répartition, il faut noter que la fonction de répartition $ \Phi$ de la loi $ N_{0,1}$, soit

$\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{y^2}{2}}dy,$

n'est pas élémentaire. Elle est tabulée dans tous les ouvrages.

On rencontre la loi $ N_{0,1}$ dans la nature comme approximation de bien des lois. La plus ancienne est l'approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale:

Théorème Approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale Si $ X$ est de loi $ B_{N,p}$, alors la loi de $ \frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$ tend vers la loi $ N_{0,1}$ dans le sens suivant: pour tout intervalle $ [a,b]$ on a

$\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}
P\left(a\leq\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}\leq b\right)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{y^2}{2}}dy.$

$  $

Une autre présentation de ce théorème de Moivre Laplace est donc

$\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}
P\left(a\sqrt{Np(1-p)}+Np\leq X\leq b\sqrt{Np(1-p)}+Np\right)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{y^2}{2}}dy.$

C'est dire que $ P\left(a\sqrt{Np(1-p)}+Np\leq X\leq b\sqrt{Np(1-p)}+Np\right)$ est approchée par $ \Phi(b)-\Phi(a).$ Cette approximation est à la base de la statistique.

La démonstration de ce résultat n'est pas élémentaire. Toutefois, l'usage des transformées de Laplace le rend plausible; avec le théorème 6.7, partie 5):

$\displaystyle L_{\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}}(z)=
(1-p+p\frac{z}{\sqrt{Np(1-p)...
...ac{-Npz}{\sqrt{Np(1-p)}}
\rightarrow_{N\rightarrow \infty} \exp \frac{z^2}{2},$

par un calcul de développement limité.

Définition - Proposition \fbox{\bf Les lois gamma $\gamma_{p,q}$.} La loi exponentielle $ \gamma_{1,q}$ de moyenne $ q$ est la plus importante des lois à densité après la loi normale. Elle est concentrée sur la demi droite positive, sa fonction de répartition est pour $ x>0$ $ F(x)=1-\exp(-x/q)$ et en dérivant $ F$, sa densité est

$\displaystyle \frac{1}{q}\exp(-x/q){\bf 1}_{]0,+\infty[}(x).$

$  $

On la rencontre dans la nature car c'est une loi sans mémoire: si $ X$ suit une loi exponentielle de moyenne $ q$ et si $ x$ et $ y$ sont $ >0$, alors

$\displaystyle P(X>x+y\vert X>y)=\frac{P(X>x+y)}{P(X>y)}=\frac{1-F(x+y)}{1-F(y)}=
\exp(-x/q)=P(X>x).$

Par exemple une ampoule électrique ne s'use pas, et le fait que nous sachions qu'elle a déjà duré un temps $ y$ ne nous donne aucune information pour savoir si elle va durer au moins un temps $ x$ à partir de maintenant.

La transformée de Laplace d'une variable aléatoire $ X$ de loi exponentielle existe sur $ I_X=]-\infty , 1/q[$ et est égale à $ L_X(z)=\frac{1}{1-qz}.$ Ceci montre avec le théorème 6.7, 2), que $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=q$, $ \hbox{I\hskip -2pt E}(X^2)=2q^2$ et, par la formule de Huyghens, que $ \sigma^2(X)=q^2$.

Si $ p$ est un nombre entier positif et si $ X_1,\cdots,X_p$ sont des v.a. indépendantes et de même loi $ \gamma_{1,q}$ , la transformée de Laplace de $ X_1+\cdots+X_p$ est donc $ (\frac{1}{1-qz})^p$ sur $ ]-\infty , 1/q[$. Comme la transformée de Laplace détermine la loi, il suffit de montrer (par une intégration par parties qui permet de faire une récurrence sur $ p$) que

$\displaystyle \frac{1}{(p-1)!}\int_0^{+\infty}\exp(zx-x/q)q^{-p}x^{p-1}dx=(\frac{1}{1-qz})^p$

pour en déduire que la densité de $ X_1+\cdots+X_p$ est

$\displaystyle \frac{1}{(p-1)!}\int_0^{+\infty}\exp(-x/q)q^{-p}x^{p-1}{\bf 1}_{]0,+
\infty[}(x):$

c'est la densité de la loi $ \gamma_{p,q}$.

En fait, comme pour la loi négative binomiale qui a été obtenue par une interpolation des entiers, il est possible dans la loi $ \gamma_{p,q}$ de remplacer le paramètre entier par le paramètre $ p>0$. Pour cela on introduit une importante fonction de $ p$ appelée fonction Gamma d'Euler et définie pour $ p>0$ par

$\displaystyle \Gamma(p)=\int_0^{+\infty}\exp(-x)x^{p-1}dx.$

Une intégration par parties montre que $ \Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$. Comme $ \Gamma(1)=1$ on en tire que si $ p$ est entier $ \Gamma(p)=(p-1)!$: cette fonction Gamma interpole les factorielles.

On définit alors la loi $ \gamma_{p,q}$ pour $ p>0$ non nécessairement entier par sa densité :

$\displaystyle \frac{1}{\Gamma}\int_0^{+\infty}\exp(-x/q)q^{-p}x^{p-1}{\bf 1}_{]0,+
\infty[}(x)$

qui a pour transformée de Laplace $ (\frac{1}{1-qz})^p.$ On déduit de cette transformée de Laplace que la moyenne est $ pq$ et que la variance est $ pq^2.$ On appelle $ p$ le paramètre de forme et $ q$ le paramètre d'échelon. En effet, on voit facilement, soit avec les fonctions de répartition, soit avec les transformées de Laplace, que si $ X$ est de loi $ \gamma_{p,1}$ alors $ qX$ est de loi $ \gamma_{p,q}.$ Changer $ q$ est un simple changement d'unités de mesure, changer $ p$ change de façon importante l'allure de la densité.

Définition - Proposition \fbox{\bf La loi uniforme sur $[a,b].$} C'est la loi $ U_{[a,b]}$, de densité $ \frac{1}{b-a}{\bf 1}_{[a,b]}(x).$ Sa fonction de répartition $ F(x)$ est nulle si $ x<a$, égale à $ \frac{x-a}{b-a}$ si $ x\in [a,b]$ et égale $ 1$ si $ x>b.$

Il est facile de voir que si $ X$ est de loi $ U_{[0,1]}$ alors $ Y=a+(b-a)X$ est de loi $ U_{[a,b]}$ (on dit aussi que $ Y$ est uniformément répartie sur $ [a,b]).$ La transformée de Laplace n'est pas spécialement remarquable. Pour $ U_{[0,1]},$ c'est $ L(z)=\frac{1}{z}(e^z-1)$ si $ z\neq 0$ et $ L(0)=1$ Le moment d'ordre $ n$ pour $ U_{[0,1]}$ s'obtient directement à partir de la définition : c'est $ 1/(n+1).$ Les variables uniformes sont intensément utilisées en simulation.


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