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Inégalité de Cramer-Chernoff, grandes déviations

On pourra consulter le livre [18], lecture 16, avec profit. Une application possible des grandes déviations est illustrée en [*].

FLEMMARD

Le programme suivant illustre le résultat prédit par le résultat FLEMMARD ci-dessus.



Exemple Matlab : texte du programme gd.m


function f = gd(i,j,n,p,c,astuce)

x=mean(rbeta([p,n,astuce],i,j),3);
M=(abs(cumsum(x')'.*(ones([1,p])'*(1./(1:n)))-i/(i+j)));
m(1,:)=mean(M>c);
m(2,:)=mean(M>2*c);
m(3,:)=mean(M>3*c);
m(4,:)=mean(M>4*c);
m=(log(m))/astuce;
plot(m');
title(sprintf('1/k log de la proportion des %d moyennes
\ \ \ de k vas beta(%d,%d) a distance > %g x 1:4 de
\ \ \ l''esperance pour k dans 1,%d',p,i,j,c,n*astuce));
text(n/2,m(1,floor(n/2)),sprintf('%g',c));
text(n/2,m(2,floor(n/2)),sprintf('%g',2*c));
text(n/2,m(3,floor(n/2)),sprintf('%g',3*c));
text(n/2,m(4,floor(n/2)),sprintf('%g',4*c));




Le résultat est illustré en figure [*]; il faut noter le fait que la courbe est bien linéaire.

Figure: Grandes déviations
\epsfig{file=mtlgd.eps,width=8cm}



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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