Inégalité de Cramer-Chernoff, grandes déviations

On pourra consulter le livre [18], lecture 16, avec profit. Une application possible des grandes déviations est illustrée en .

FLEMMARD

Le programme suivant illustre le résultat prédit par le résultat FLEMMARD ci-dessus.

Exemple Matlab : texte du programme gd.m

function f = gd(i,j,n,p,c,astuce) x=mean(rbeta([p,n,astuce],i,j),3); M=(abs(cumsum(x')'.*(ones([1,p])'*(1./(1:n)))-i/(i+j))); m(1,:)=mean(M>c); m(2,:)=mean(M>2*c); m(3,:)=mean(M>3*c); m(4,:)=mean(M>4*c); m=(log(m))/astuce; plot(m'); title(sprintf('1/k log de la proportion des %d moyennes \ \ \ de k vas beta(%d,%d) a distance > %g x 1:4 de \ \ \ l''esperance pour k dans 1,%d',p,i,j,c,n*astuce)); text(n/2,m(1,floor(n/2)),sprintf('%g',c)); text(n/2,m(2,floor(n/2)),sprintf('%g',2*c)); text(n/2,m(3,floor(n/2)),sprintf('%g',3*c)); text(n/2,m(4,floor(n/2)),sprintf('%g',4*c));

Le résultat est illustré en figure ; il faut noter le fait que la courbe est bien linéaire.

Figure: Grandes déviations