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ABRACADABRA: application des martingales

Le résultat suivant est extrait de [21] (en tant qu'exercice non corrigé):

Proposition Soit $ T$ la variable aléatoire égale au temps (en secondes) pendant lequel un singe tape sur une machine à écrire une lettre au hasard par seconde jusqu'à obtenir la suite "ABRACADABRA", chaque lettre ayant une probabilité $ 1/26$ d'être tirée au sort à chaque seconde.

Alors $ E(T)=26^{11}+26^4+1$.

Démonstration: On imagine qu'un nouveau joueur intervient à chaque seconde $ n\in [0,T]$, et parie sur la prochaine lettre fournie par le singe. Il mise un franc sur $ A$, et gagne $ 26$ francs s'il a raison. A la seconde suivante (alors même qu'un autre joueur arrive), s'il a perdu il arrête de jouer, et s'il a gagné il remise tout ce qu'il a gagné sur $ B$, gagnant $ 26^2$ francs s'il gagne, et perdant $ 26$ francs s'il perd. Il continue ainsi jusqu'à gagner $ 26^{11}$ francs avec le mot complet ABRACADABRA ou jusqu'à perdre.

Il est clair que le gain total de l'ensemble des joueurs est une martingale (par le théorème [*]), et que donc par le théorème d'arrêt éventuel de Doob ([*]) permet de conclure que l'espérance est nulle. On en déduit le résultat démandé en constatant que les pertes sont égales à $ T-26^{11}-26^4-26$ (examiner les joueurs encore en jeu à l'instant $ T$).$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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