ABRACADABRA: application des martingales

Le résultat suivant est extrait de [21] (en tant qu'exercice non corrigé):

Proposition Soit la variable aléatoire égale au temps (en secondes) pendant lequel un singe tape sur une machine à écrire une lettre au hasard par seconde jusqu'à obtenir la suite "ABRACADABRA", chaque lettre ayant une probabilité d'être tirée au sort à chaque seconde.

Alors .

Démonstration: On imagine qu'un nouveau joueur intervient à chaque seconde , et parie sur la prochaine lettre fournie par le singe. Il mise un franc sur , et gagne francs s'il a raison. A la seconde suivante (alors même qu'un autre joueur arrive), s'il a perdu il arrête de jouer, et s'il a gagné il remise tout ce qu'il a gagné sur , gagnant francs s'il gagne, et perdant francs s'il perd. Il continue ainsi jusqu'à gagner francs avec le mot complet ABRACADABRA ou jusqu'à perdre.

Il est clair que le gain total de l'ensemble des joueurs est une martingale (par le théorème ), et que donc par le théorème d'arrêt éventuel de Doob () permet de conclure que l'espérance est nulle. On en déduit le résultat démandé en constatant que les pertes sont égales à (examiner les joueurs encore en jeu à l'instant ).