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Application à l'évaluation de la perte de précision dans un algorithme

On peut utiliser ici des résultats divers concernant la limite d'une somme de variables aléatoires identiquement distribuées ; grandes déviations, théorème central limite, inégalité de Bienaymé-Tchébytchev [*] FLEMMARD...

On suppose qu'un programme effectue un calcul et qu'à chaque étape on ajoute un nombre, et que la perte de précision est la valeur absolue de la somme de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées.

A chaque étape, on a un $ u_n$ représentant la valeur obtenue après le $ n$-ième calcul, et $ X_n$ la différence entre $ u_{n+1}$ et $ f(u_n)$ la valeur que l'on obtiendrait si l'ordinateur avait une précision infinie à cette étape.

C'est-à-dire que, $ S_n$ représentant la somme des $ X_i$ pour $ i$ variant de $ 1$ à $ n$, les $ X_i$ étant des variables aléatoires identiquement distribuées , en supposant que l'espérance de $ X_i$ est nulle, on a les résultats suivants:

$ \bullet\ $$ E(S_n)=0$

$ \bullet\ $Par l'inégalité de Bienaymé-Tchébitchev, si la variance est $ \sigma ^2<\infty$: $ P(\vert S_n\vert\geq c)\leq \frac{n \sigma ^2}{c^2}$

$ \bullet\ $Par le théorème central limite,

$\displaystyle P(\vert S_n\vert>c \sqrt{n}\sigma )\to_{n\to\infty} 2P(N>c)$

avec $ N$ variable aléatoire de loi normale $ N(0,1)$ (ceci permet donc la construction d'intervalles de confiance).

$ \bullet\ $Par les résultats sur les grandes déviations,

$\displaystyle P(\vert S_n\vert>c n)$

avec $ c$ positif décroit exponentiellement en $ n$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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