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Application des probabilités à la géométrie euclidienne

Soient $ (x_i)_{i\in[1,d]}$ une famille de $ d$ vecteurs de $ \mathbb{R}^d$.

On se donne $ (p_i)_{i\in[1,d]}$ une famille de réels dans $ [0,1]$.

Définissons $ x=\sum_i p_i.x_i$.

Montrons qu'il existe $ (\epsilon _i)_{i\in [1,d]}$ une famille de $ d$ éléments de $ \{0,1\}$ tels que $ {\parallel}w - \sum_i \epsilon _i.x_i{\parallel}\leq \sqrt{\sum_{i\in[1,d]} {\parallel}u_i {\parallel}^2}/2$.

On définit $ (X_1,...,X_d)$ un vecteur aléatoire de loi

$\displaystyle P(X=(x_1,...,x_d))=\Pi_{i\in[1,d]} p_i^{x_i}.(1-p_i)^{1-x_i}$

pour $ (x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d$

(c'est à dire, intuitivement, que la probabilité pour $ X_i$ d'être égal à $ 1$ est $ p_i$, et que les composantes sont indépendantes)

et on définit $ X=\sum X_i.x_i$; $ X$ est un vecteur aléatoire.

Calculons l'espérance de $ {\parallel}X-w {\parallel}^2$.

$\displaystyle E({\parallel}X-w {\parallel}^2)$

$\displaystyle =E(\sum_{(i,j)\in[1,d]^2} (X_i-p_i).(X_j-p_j).<u_i,u_j>)$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^d {\parallel}u_i {\parallel}^2 p_i.(1-p_i)$

$\displaystyle =\sum_{i=1}^d {\parallel}u_i {\parallel}^2/4$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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