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Proportion de diviseurs de $ n$ dans $ [1,i]$

Ce résultat est extrait de [1].

Définition On note $ \mu(n)$ le nombre de diviseurs premiers de $ n$.

Soit $ u_n$ une suite tendant vers $ +\infty$. On définit $ E_n^i$ l'ensemble des $ i \in [1,n]$ tels que

$ \vert\mu(i)-log(log(n))\vert$ est supérieur ou égal à $ a(n)\sqrt{ln(ln(n))}$ Alors l'objectif va être de prouver que:

$ lim_{n\to\infty} \frac{\vert E_n^i\vert}{n}=0$

L'intérêt sera de prendre alors $ a(n)=\sqrt{ln(ln(n))}$, et on arrivera à la conclusion que la proportion d'entiers $ i$ tels que $ \mu(i)/ln(ln(i))$ soit plus loin de $ 1$ que $ \epsilon $ tendra vers 0 pour $ n\to\infty$.

Montrons donc notre résultat.

$ \bullet\ $Pour cela on considère les lois de probabilités $ (prob_n)$ à valeurs dans $ \mathbb{N}^*$ pour $ n\in \mathbb{N}$, définie par $ prob_n(i)=1/n$ si $ i\leq n$ et 0 sinon.

$ \bullet\ $On définit ensuite $ div(p,n)$, application de $ P\times \mathbb{N}^*$ dans $ \{0,1\}$, avec $ P$ l'ensemble des nombres premiers, avec $ div(p,n)=1$ si $ p\vert n$ et 0 sinon.

$ \bullet\ $On constate que $ \mu(n)=\sum_{p\in P} (div(p,n))$.

$ \bullet\ $On constate aussi que $ \frac{\vert E_n^i\vert}{n}=prob_n(\vert\mu - ln(ln(n))\vert\geq a(n).ln(ln(n)) )$

$ \bullet\ $Déterminons maintenant l'espérance de $ div(p,.)$, pour la probabilité $ prob_n$.

$\displaystyle E(div(p,.))=\lfloor n/p \rfloor /n =1/p + O(1/n)$

$ \bullet\ $On détermine maintenant l'espérance de $ \mu$; elle est somme des espérances des $ div(p,.)$, or le théorème des nombres premiers FLEMMARD affirme que

$\displaystyle \sum_{p\in P \land p\leq n} 1/p = ln(ln(n))+o(1)$

pour $ n\to\infty$

Donc toujours pour $ prob_n$

$\displaystyle E(\mu)=\sum_{p\in P \land p\leq n} 1/p + O(1/n)$

$\displaystyle =ln(ln(n))+o(1)$

$ \bullet\ $Déterminons maintenant la variance de $ div(p,.)$.

$\displaystyle Var(div(p,.))=E( (div(p,.)-E(div(p,.))^2 )$

$\displaystyle =E( (div(p,.) - 1/p + O(1/n) )^2$

$\displaystyle =\frac{1}{p}.\frac{p-1}p+\frac{p-1}{p}\frac{1}{p}+O(1/n)$

$\displaystyle =\frac{2.(p-1)}{p^2}$

$ \bullet\ $Déterminons maintenant la covariance de $ div(p,.)$ et $ div(q,.)$

$\displaystyle Cov(div(p,.),div(q,.)) = E(div(p,.).div(q,.)) -E(div(p,.))E(div(q,.))$

$\displaystyle =\frac{\lfloor n/pq \rfloor}{n} - \frac{\lfloor n/p \rfloor}{n}\frac{\lfloor n/q \rfloor}{n}$

$\displaystyle \leq \frac 1 {pq} - (p-1/n).(q-1/n)$

$\displaystyle \leq \frac 1 n (1/p + 1/q)$

$ \bullet\ $On peut donc maintenant calculer la variance de $ \mu$.

$\displaystyle Var(\mu)=\sum_{p\in P \land p\leq n} Var(div(p,.))$

$\displaystyle +2 \sum_{(p,q)\in P^2 \land p,q \leq n} Cov(div(p,.),div(q,.))$

$\displaystyle \leq ln(ln(n))+O(1)$

$ \bullet\ $On peut alors appliquer l'inégalité de Tchebitchev:

$\displaystyle prob_n((X-E(x))^2\geq t^2) \leq \frac{Var(\mu)}{t^2}$

donc

$\displaystyle prob_n(\vert X-ln(ln(n))\vert\geq t\sqrt{ln(ln(n))})\leq 1/t^2$

La preuve est ainsi complète!$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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