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Processus de branchement

Je suis ici la démarche du chapitre 0 de [21], qui m'a semblé la plus intuitive; on trouvera des résultats similaires dans [18], et des prolongements et illustrations dans d'autres livres cités par Williams dans [21]; Feller, Ross.

On se donne une variable aléatoire $ X$ à valeurs dans $ \mathbb{N}$. Intuitivement, $ X$ correspond au nombre d'enfants d'un animal donné.

On suppose que $ P(X=0)>0$.

On note $ f$ la fonction génératrice de $ X$, c'est-à-dire

$\displaystyle f(\theta)=E(\theta^X)=\sum_{k\geq 0} P(X=k) \theta^k$

On considère une suite double de variables aléatoires identiquement distribuées $ X_{n,m}$ toutes distribuées comme $ X$.

On définit $ Z_0=1$, et $ Z_{n+1}=\sum_{i\in [1,Z_n]} X_{n,m}$.

On note $ f_n$ la fonction génératrice de $ Z_n$, c'est-à-dire $ f_n(\theta)=E(\theta^{Z_n})=\sum_{k\geq 0} {\cal P}(Z_n=k) \theta^k$.

Intuitivement, $ Z_n$ est le nombre d'individus d'une espèce à l'instant $ n$, descendant d'un même individu, qui est seul à l'instant $ n=0$ (puisque $ Z_0=1$).

On définit aussi $ \Pi$ la probabilité d'extinction, définie par $ \Pi=P(\exists n/ Z_n=0)$, et $ \Pi_n$ la probabilité d'extinction avant l'instant $ n$, définie par $ \Pi_n=P(Z_n=0)$.

Lemme Pour $ \theta$ dans $ [0,1[$

$\displaystyle f_n(theta) = f^n(\theta)$

c'est-à-dire, par définition de $ f^n(\theta)$,

$\displaystyle =\underbrace{f\circ f \circ \dots \circ f}_{\mbox{$n$ fois}}$


Démonstration:

Le cas $ n=0$ est clair, $ n=1$ aussi, on procède ensuite par récurrence; il suffit donc de montrer que $ f_{n+1}(\theta)=f_n(f(\theta))$.

Or,

$\displaystyle f_{n+1}(\theta)=E(\theta^{Z_{n+1}})$

$\displaystyle =E(E(\theta^{Z_{n+1}}\vert Z_n))$

par les propriétés de l'espérance conditionnelle,

Or

$\displaystyle E(\theta^{Z_{n+1}}\vert Z_n=k)=E(\theta^{X_{n,1}+X_{n,2}+\dots+X_{n,k}})$

$\displaystyle = \Pi_{l=1}^k E(\theta^X_{n,l})=E(\theta^X)^k$

vu l'indépendance des $ \theta^{X_{n,m}}$

$\displaystyle = f(\theta)^k $

$\displaystyle f^{n+1}(\theta)=E(\theta^{Z_{n+1}}\vert Z_n)=\sum_k E(\theta^{Z_{n+1}}\vert Z_n=k) P(Z_n=k)= f_n(f(\theta))$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème

Si $ E(X)>1$ alors la probabilité d'extinction $ \Pi$ est l'unique racine de l'équation $ \Pi=f(\Pi)$ située entre 0 et $ 1$ strictement, et sinon, $ \Pi=1$.


Démonstration:

$ \pi=\limsup_n \pi_n$ par le théorème de convergence monotone [*].

Par le lemme [*], $ \pi_n=f(\pi_{n-1})$. Par continuité de $ f$, $ \pi=f(\pi)$.

Il ne reste plus qu'à considérer le graphe de $ f$, convexe, croissante, vérifiant $ f(0)>0$, pour conclure...$ \sqcap$$ \sqcup$ FLEMMARD faire un dessin

FLEMMARD on peut dire plus de choses sur les processus (i ?) de branchement

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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