Je suis ici la démarche du chapitre 0 de [21], qui m'a
semblé la plus intuitive; on trouvera des résultats similaires
dans [18], et des prolongements et illustrations dans d'autres
livres cités par Williams dans [21]; Feller, Ross.
On se donne une variable aléatoire à valeurs dans
.
Intuitivement, correspond au nombre d'enfants d'un animal
donné.
On suppose que .
On note la fonction génératrice de , c'est-à-dire
On considère une suite double de variables aléatoires identiquement distribuées toutes
distribuées comme .
On définit , et
.
On note la fonction génératrice de , c'est-à-dire
.
Intuitivement, est le nombre d'individus d'une espèce à l'instant ,
descendant d'un même individu, qui est seul à l'instant (puisque ).
On définit aussi la probabilité d'extinction, définie par
,
et la probabilité d'extinction avant l'instant , définie par
.
Lemme
Pour dans
c'est-à-dire, par définition de
,
Démonstration:
Le cas est clair, aussi, on procède ensuite par récurrence; il suffit
donc de montrer que
.
Or,
par les propriétés de l'espérance conditionnelle,
Or
vu l'indépendance des
D'où le résultat.
Théorème
Si alors la probabilité d'extinction est l'unique racine de l'équation
située entre 0 et strictement, et sinon, .
Démonstration:
par le théorème de convergence monotone .
Par le lemme ,
. Par continuité de ,
.
Il ne reste plus qu'à considérer le graphe de , convexe, croissante, vérifiant
, pour conclure...
FLEMMARD faire un dessin
FLEMMARD on peut dire plus de choses sur les processus (i ?) de branchement