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Loi binomiale et multinomiale

$ \boxcircle$ Loi binomiale

Proposition [Loi binomiale] $ \bullet\ $Paramètres: $ B(n,p)$ a pour paramètres $ n$ dans $ \mathbb{N}$ et $ p\in [0,1]$

$ \bullet\ $A valeurs dans $ \{0,1,2,...,n\}$

$ \bullet\ $Loi: $ P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ si $ k\in[0,n]$ et $ P(X=k)=0$ sinon

$ \bullet\ $Espérance : $ n.p$

$ \bullet\ $Variance : $ n.p.(1-p)$

$ \bullet\ $Fonction caractéristique : $ \phi(t)=(1-p+p.e^{it})^n$

$ \bullet\ $Intuition : somme de $ n$ lois de Bernoullis de même paramètre $ p$.

$ \bullet\ $Signe particulier : la somme de deux variables aléatoires lois binomiales $ B(n_1,p)$ et $ B(n_2,p)$ est une variable aléatoire de loi $ B(n_1+n_2,p)$ (les deux lois binomiales en question etant supposées indépendantes!). On peut de la même manière sommer un nombre quelconque de lois binomiales (conformément à l'intuition ci-dessus d'ailleurs).

$ \bullet\ $Cas particulier : $ B(1,p)=B(p)$, loi de Bernoulli.

$ \bullet\ $Cas limite : Si $ lim_{n\to\infty} n.p_n={\lambda}$, alors $ B(n,p_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire de loi de Poisson $ P({\lambda})$. Noter que seul le produit $ n.p_n$ compte pour ce passage à la limite; d'où l'additivité des lois de Poisson quel que soient leurs paramètres.

$ \boxcircle$ Loi géométrique

Proposition [Loi géométrique] $ \bullet\ $Paramètre: $ G(p)$ a un paramètre $ p\in]0,1]$

$ \bullet\ $A valeurs dans $ i$

$ \bullet\ $Loi : $ P(X=k)=p.(1-p)^k$

$ \bullet\ $Espérance : $ \frac{1-p}{p}$

$ \bullet\ $Variance : $ \frac{1-p}{p^2}$

$ \bullet\ $Fonction caractéristique : $ (\frac{p}{1-q.e^{it}})^n\ FLEMMARD$

$ \bullet\ $Intuition : on tire au sort jusqu'à ce que l'on gagne, sachant qu'à chaque étape on a une probabilité $ p$ de gagner. Le nombre d'échecs avant la première victoire suit une loi géométrie $ G(p)$.

$ \boxcircle$ loi binomiale négative

Proposition [Loi binomiale négative]

$ \bullet\ $Paramètres : $ B^-(n,p)$ a deux paramètres $ n\in \mathbb{N}$ et $ p\in]0,1]$

$ \bullet\ $A valeurs dans $ \mathbb{N}$

$ \bullet\ $Loi : $ P(X=k)=C_{n+k-1}^{n-1}p^n.(1-p)^k$ pour tout $ k\in\mathbb{N}$

$ \bullet\ $Espérance : $ n.\frac{1-p}{p}$

$ \bullet\ $Variance : $ n.\frac{1-p}{1^2}$

$ \bullet\ $Fonction caractéristique : $ \phi(t)=(\frac{p}{1-q.e^{it}})^n\ FLEMMARD$

$ \bullet\ $Intuition : c'est un peu comme une série géométrique, à part que l'on attend d'avoir gagné $ n$ fois; on compte le nombre d'échecs.

$ \bullet\ $Cas limite : $ B^-(1,p)=G(p)$

$ \boxcircle$ Loi multinomiale

Proposition [Loi multinomiale] $ \bullet\ $Paramètre: $ {\cal M}(n,p_1,p_2,...,p_d)$ a pour paramètres $ n\in \mathbb{N}$ et $ (p_1,...,p_d)\in [0,1]^d$ avec $ \sum_{i=1}^d p_i=1$

$ \bullet\ $A valeurs $ (n_1,...,n_d)\in[0,n]^d$, avec $ \sum_{i=1}^d n_i=n$

$ \bullet\ $Loi: $ P(X=(n_1,...,n_d))=\frac{n!}{n_1!.n_2!...n_3!}$ si $ \sum_{i=1}^d n_i=n$ et 0 sinon

$ \bullet\ $Espérance: $ (n.p_1,n.p_2,...,n.p_d)$

$ \bullet\ $Matrice de covariance: $ M_{i,j}=-n.p_i.p_j$ si $ i\neq j$, $ M_{i,i}=n.p_i.(1-p_i)$

$ \bullet\ $Fonction caractéristique: $ \phi(t)=FLEMMARD$

$ \bullet\ $Intuition: on tire au sort $ n$ fois un nombre entier entre $ 1$ et $ d$, et la $ i$-ième composante représente le nombre de fois que l'on a tiré l'entier $ i$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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