Il est bien évident au vu de tout ceci que géométrie affine et algèbre linéaire
sont très fortement liées. On va préciser ces liens dans cette partie.
On se donne un espace affine .
Théorème
Etant donné un espace affine de direction
, il existe un espace vectoriel tel que
est un hyperplan affine de ,
est un hyperplan (vectoriel)
de ;
en outre :
chaque élément de qui n'est pas dans
s'écrit sous
la forme
avec et
;
pour tout élément dans ,
;
toute famille affinement libre de est une famille libre de ;
les repères affines de sont les bases de formées d'éléments de ;
les coordonnées barycentrique (normalisées) dans un repère affine de sont exactement les
coordonnées dans la même base en tant que base de .
Etant donné
un repère cartésien de , si a pour coordonnées cartésiennes
dans ce repère, a pour coordonnées
dans la
base de égale à
(bien voir que est un élément de , donc un élément de , et que est un élément de
, donc aussi un élément de ).
Il n'y a pas unicité de , mais on peut le construire explicitement en considérant
l'ensemble réunion de , de
, et de l'ensemble des couples
appartenant à
. Les lois sont celles que l'on attend en identifiant
à
et à
.
Définition
Cet espace vectoriel est noté par la suite .
Enfin un petit théorème immédiat:
Théorème
Pour toute application affine de dans , il existe une et une seule application linéaire de dans telle que induise . En outre
est la restriction de à
.
un espace affine .
, il existe un espace vectoriel 
tel que
chaque élément de 
avec 
et
;
dans 
;
un repère cartésien de 
dans ce repère, 
a pour coordonnées
dans la
base de 
est un élément de 
est un élément de
appartenant à
. Les lois sont celles que l'on attend en identifiant
et 
.
de 
, il existe une et une seule application linéaire 
telle que 
est la restriction de 
