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Pour se ramener à l'algèbre linéaire

Il est bien évident au vu de tout ceci que géométrie affine et algèbre linéaire sont très fortement liées. On va préciser ces liens dans cette partie.

On se donne $ X$ un espace affine .

Théorème Etant donné $ X$ un espace affine de direction $ \overrightarrow X$, il existe un espace vectoriel $ \hat X$ tel que $ X$ est un hyperplan affine de $ \hat X$, $ \overrightarrow X$ est un hyperplan (vectoriel) de $ \hat X$;

en outre :

$ \bullet $chaque élément de $ \hat X$ qui n'est pas dans $ \overrightarrow X$ s'écrit sous la forme $ {\lambda}.x$ avec $ x\in X$ et $ {\lambda}\in \mathbb{K}$;

$ \bullet $pour tout élément $ y$ dans $ X$, $ \hat X=X\oplus \mathbb{K}.y$;

$ \bullet $toute famille affinement libre de $ X$ est une famille libre de $ \hat X$;

$ \bullet $les repères affines de $ X$ sont les bases de $ \hat X$ formées d'éléments de $ X$;

$ \bullet $les coordonnées barycentrique (normalisées) dans un repère affine de $ X$ sont exactement les coordonnées dans la même base en tant que base de $ \hat X$.

$ \bullet $Etant donné $ (R,e_1,...,e_n)$ un repère cartésien de $ X$, si $ x\in X$ a pour coordonnées cartésiennes $ (x_1,...,x_n)$ dans ce repère, $ x$ a pour coordonnées $ (1,x_1,...,x_n)$ dans la base de $ \hat X$ égale à $ (R,e_1,...,e_n)$ (bien voir que $ R$ est un élément de $ X$, donc un élément de $ \hat X$, et que $ e_i$ est un élément de $ \overrightarrow X$, donc aussi un élément de $ X$).

Il n'y a pas unicité de $ \hat X$, mais on peut le construire explicitement en considérant l'ensemble réunion de $ X$, de $ \overrightarrow X$, et de l'ensemble des couples $ ({\lambda},\overrightarrow x)$ appartenant à $ (\mathbb{K}\setminus \{0,1\}) \times \overrightarrow X$. Les lois sont celles que l'on attend en identifiant $ \overrightarrow X$ à $ \{0\} \times \overrightarrow X$ et $ X$ à $ \{1\}\times \overrightarrow X$.

Définition Cet espace vectoriel est noté par la suite $ \hat X$.

Enfin un petit théorème immédiat:

Théorème Pour toute application affine $ f$ de $ X$ dans $ X'$, il existe une et une seule application linéaire $ \hat f$ de $ \hat X$ dans $ \hat {X'}$ telle que $ \hat f$ induise $ f$. En outre $ \overrightarrow f$ est la restriction de $ f$ à $ \overrightarrow X$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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