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Formes 2-affines et quadriques affines

Définition On appelle forme 2-affine une application d'un espace affine $ X$ de dimension finie dans $ \mathbb{K}$ telle qu'étant donné un certain repère cartésien $ R$, $ f(x)=\sum_{(i,j) \in [1,n]^2} A_{i,j}.x_i.x_j + 2 \sum_{i\in[1,n]} b_i.x_i +c$, avec $ x_i$ les coordonnées cartésiennes de $ x$ dans $ R$ et $ b$ un vecteur à $ n$ composantes, $ c$ un réel, $ A$ une matrice de type $ (n,n)$ qui ne soit pas antisymétrique.

On appelle quadrique affine d'un espace affine de dimension finie une équation du type $ f(x)=0$ avec $ f$ une forme 2-affine sur cet espace affine .

Proposition

$ \bullet $La définition ci-dessus stipule seulement qu'il existe un certain repère cartésien dans lequel on peut exprimer ainsi l'application; en fait s'il en est ainsi, l'application s'exprime de même dans tout référentiel cartésien.

$ \bullet $On peut aussi imposer, sans changer la notion de forme 2-affine, que la matrice $ A$ soit symétrique non nulle.

Proposition L'application $ f \mapsto f_{\vert X}$ de l'ensemble des formes quadratiques sur $ \hat X$ dont la restriction à $ \overrightarrow X$ n'est pas la forme quadratique nulle dans l'ensemble des formes 2-affines sur $ X$ est une bijection.

Ce résultat est important; il permet donc de ramener l'étude d'une forme 2-affine sur un espace affine de dimension $ n$ à l'étude de la restriction à un hyperplan d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension $ (n+1)$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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