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Exemples très banals d'espaces affines

$ \boxcircle$ Espace vectoriel

On se donne $ E$ un espace vectoriel, par exemple $ \mathbb{R}^n$; alors $ X=E$ muni de l'application $ (x,y) \mapsto \overrightarrow {xy}=y-x$ est un espace affine.

$ \boxcircle$ Avec une bijection sur un espace vectoriel

Etant donné $ X$ un ensemble et $ E$ un espace vectoriel , avec $ f$ une bijection de $ X$ sur $ E$, alors l'application $ (x,y)\mapsto \overrightarrow {xy}=f(y)-f(x)$ de $ X \times X$ dans $ E$ définit une structure d'espace affine sur $ X$. En fait, tout espace affine peut se définir de cette façon; mais il n'y a pas unicité de la fonction $ f$ (unicité à composition par une translation près toutefois).



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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