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Sous-sections

Solutions d'une équation différentielle

$ \boxcircle$ Du premier ordre

Etant donné $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$, $ u$ et $ v$ des applications continues de $ I$ dans $ \mathbb{R}$, les solutions de l'équation différentielle du premier ordre

$\displaystyle y'(t)=u(t).y(t)+v(t)$

forment un espace affine de direction l'ensemble des $ y(t)$ tels que $ y'(t)=u(t).y(t)$.

Cet espace affine est de dimension $ 1$, sa direction est une droite vectorielle (de l'espace vectoriel des fonctions continues de $ I$ dans $ \mathbb{R}$) engendrée par l'application $ x \mapsto exp(U(x))$ (de $ I$ dans $ \mathbb{R}$) avec $ U'=u$ sur $ I$.

$ \boxcircle$ Du second ordre

Etant donné $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$, $ u$, $ v$ et $ w$ des applications continues de $ I$ dans $ \mathbb{R}$, les solutions de l'équation différentielle du deuxième ordre

$\displaystyle y''(t)=u(t).y'(t)+v(t).y(t)+w(t)$

forment un espace affine de direction l'ensemble des $ y(t)$ tels que $ y''(t)=u(t).y'(t)+v(t)y(t)$.

Cet espace affine est de dimension $ 2$, sa direction est un plan vectoriel (de l'espace vectoriel des fonctions continues de $ I$ dans $ \mathbb{R}$), dont on trouvera une base en utilisant la transformation donnée en partie [*] pour se ramener à une équation d'ordre $ 1$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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