Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
153 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Définitions et généralités next up previous index
suivant: Barycentre monter: Géométrie affine précédent: Géométrie affine   Index

Définitions et généralités

Définition Etant donné $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel , on appelle espace affine de direction $ E$ un ensemble $ X$ muni d'une application $ (x,y) \mapsto \overrightarrow {xy}$ de $ X \times X$ dans $ E$ telle que:

$ \bullet $ $ \forall (x,y,z) \in X^3, \overrightarrow {xy}+\overrightarrow {yz}=\overrightarrow {xz}$

$ \bullet $ $ \forall x \in X, \forall u \in E , \exists ! y \in X \overrightarrow {xy}=u$

On définit alors une addition de $ X \times E$ dans $ X$ par $ x + u = y$ avec $ y$ tel que $ \overrightarrow {xy}=u$.

On appelle scalaires les éléments du corps $ \mathbb{K}$.

On appelle vecteurs les éléments de l'espace vectoriel $ E$.

On appelle points les éléments de l'espace affine.

On note parfois surmontés d'une flèche les éléments de $ E$, pour les distinguer des éléments de $ X$; ainsi au lieu de $ u=\overrightarrow {xy}$ ou $ x + u = y$ on peut noter $ x+\overrightarrow {u}=y$.

Une convention usuelle est aussi de noter $ \overrightarrow {X}$ un espace vectoriel associé à $ X$; il faut bien voir toutefois que la direction n'est pas unique et qu'il ne suffit pas que $ X$ soit un espace affine de direction $ E$ pour qu'on puisse définir canoniquement sa direction $ \overrightarrow {X}$.

On appelle dimension d'un espace affine la dimension de sa direction lorsque celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa direction est de dimension infinie.

On appelle translation de vecteur $ a$ avec $ a \in E$ l'application qui à $ x$ dans $ X$ associe $ x+a$.

On appelle variété affine d'un espace affine $ X$ de direction $ F$ ou sous-espace affine de $ X$ tout sous-ensemble de $ X$ de la forme $ x+F$ avec $ x\in X$ et $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$ (droite affine si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).

On appelle vectorialisé de $ X$ en $ x_0\in X$ l'espace vectoriel $ (X,+)$ pour l'addition $ x+y=z$ avec $ z$ tel que $ \overrightarrow {x_0x}+\overrightarrow {x_0y}=\overrightarrow {x_0z}$. Pour l'application qui à $ (x,y)$ associe $ z$ tel que $ x+z=y$, $ X$ est un espace affine de direction son vectorialisé.

Attention! Bien noter l'unicité ($ \exists !$) dans le deuxième axiome!

Attention! On peut lier facilement cette notion à celle d'espace affine définie dans le cadre des espace vectoriel ; en effet un espace affine (au sens des espaces vectoriels ) est un espace affine pour l'application $ (x,y) \mapsto \overrightarrow {xy}=y-x$, et un espace affine $ A$ (au sens ici défini) est un espace affine au sens des espaces vectoriels; il suffit de choisir un point $ x$ arbitraire dans $ A$ et de considérer l'addition dans $ A$ définie par $ b+c=d$, avec $ d$ tel que $ \overrightarrow {xd}=\overrightarrow {xb}+\overrightarrow {xc}$.

Proposition Les propriétés suivantes sont des propriétés élémentaires faciles à démontrer:

$ \bullet $ $ \overrightarrow {xy}=\overrightarrow {0} \iff x=y$;

$ \bullet $ $ \overrightarrow {xy}+\overrightarrow {yz}=\overrightarrow {xz}$ (relation de Chasles);

$ \bullet $ $ \overrightarrow {xy}=\overrightarrow {zt} \iff \overrightarrow {xz}=\overrightarrow {yt}$ (propriété du parallélogramme);

$ \bullet $l'ensemble des translations de $ X$ est un groupe additif isomorphe au groupe additif de la direction de $ X$;

$ \bullet $les vectorialisés d'un espace affine sont tous isomorphes entre eux.


next up previous index
suivant: Barycentre monter: Géométrie affine précédent: Géométrie affine   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page