Définitions et généralités

Définition Etant donné un -espace vectoriel , on appelle espace affine de direction un ensemble muni d'une application de dans telle que:

On définit alors une addition de dans par avec tel que .

On appelle scalaires les éléments du corps .

On appelle vecteurs les éléments de l'espace vectoriel .

On appelle points les éléments de l'espace affine.

On note parfois surmontés d'une flèche les éléments de , pour les distinguer des éléments de ; ainsi au lieu de ou on peut noter .

Une convention usuelle est aussi de noter un espace vectoriel associé à ; il faut bien voir toutefois que la direction n'est pas unique et qu'il ne suffit pas que soit un espace affine de direction pour qu'on puisse définir canoniquement sa direction .

On appelle dimension d'un espace affine la dimension de sa direction lorsque celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa direction est de dimension infinie.

On appelle translation de vecteur avec l'application qui à dans associe .

On appelle variété affine d'un espace affine de direction ou sous-espace affine de tout sous-ensemble de de la forme avec et sous-espace vectoriel de (droite affine si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).

On appelle vectorialisé de en l'espace vectoriel pour l'addition avec tel que . Pour l'application qui à associe tel que , est un espace affine de direction son vectorialisé.

Bien noter l'unicité () dans le deuxième axiome!

On peut lier facilement cette notion à celle d'espace affine définie dans le cadre des espace vectoriel ; en effet un espace affine (au sens des espaces vectoriels ) est un espace affine pour l'application , et un espace affine (au sens ici défini) est un espace affine au sens des espaces vectoriels; il suffit de choisir un point arbitraire dans et de considérer l'addition dans définie par , avec tel que .

Proposition Les propriétés suivantes sont des propriétés élémentaires faciles à démontrer:

;

(relation de Chasles);

(propriété du parallélogramme);

l'ensemble des translations de est un groupe additif isomorphe au groupe additif de la direction de ;

les vectorialisés d'un espace affine sont tous isomorphes entre eux.