Définition
Etant donné un
-espace vectoriel , on appelle espace affine de direction
un ensemble muni d'une application
de
dans telle que:
On définit alors une addition de
dans par
avec tel que
.
On appelle scalaires les éléments du corps
.
On appelle vecteurs les éléments de l'espace vectoriel .
On appelle points les éléments de l'espace affine.
On note parfois surmontés d'une flèche les éléments de , pour les
distinguer des éléments de ; ainsi au lieu de
ou on peut
noter
.
Une convention usuelle est aussi de noter
un espace vectoriel associé
à ; il faut bien voir toutefois que la direction n'est pas unique et qu'il
ne suffit pas que soit un espace affine de direction pour qu'on puisse
définir canoniquement sa direction
.
On appelle dimension d'un espace affine la dimension de sa direction lorsque
celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa
direction est de dimension infinie.
On appelle translation de vecteur avec l'application qui
à dans associe .
On appelle variété affine d'un espace affine de direction
ou sous-espace affine de
tout sous-ensemble de de la forme avec et sous-espace vectoriel
de (droite affine
si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).
On appelle vectorialisé de en l'espace
vectoriel pour l'addition avec tel que
.
Pour l'application qui à associe tel que , est un espace
affine de direction son vectorialisé.
Bien noter l'unicité () dans le deuxième axiome!
On peut lier facilement cette notion à celle d'espace affine définie dans le
cadre des espace vectoriel ; en effet un espace affine (au sens des espaces vectoriels ) est un espace affine
pour l'application
, et un espace affine (au sens ici
défini) est un espace affine au sens des espaces vectoriels; il suffit de choisir
un point arbitraire dans et de considérer l'addition dans définie par
, avec tel que
.
Proposition
Les propriétés suivantes sont des propriétés élémentaires faciles à démontrer:
;
(relation de Chasles);
(propriété du parallélogramme);
l'ensemble des translations de est un groupe additif isomorphe au groupe
additif de la direction de ;
les vectorialisés d'un espace affine sont tous isomorphes entre eux.