On se donne un ensemble quelconque, et un espace vectoriel , et on considère une action
du groupe sur ; on impose que cette action soit fidèle et transitive,
c'est-à-dire que
et (définition d'une action)
et
(existence = transitivité, unicité = fidélité).
Alors est un espace affine de direction pour l'application qui à associe
l'élément tel que .
La notation multiplicative, usuelle pour les actions de groupe, est peut-être ici assez
malvenue, du fait que l'on se retrouve avec ... On peut remplacer pour
dans
par , et employer le vocabulaire plus imagé des translations.
un ensemble quelconque, et 
un espace vectoriel , et on considère une action
du groupe 
sur 
et 
(définition d'une action)
associe
l'élément 
tel que 
.
... On peut remplacer 
pour
dans
par 
, et employer le vocabulaire plus imagé des translations.
