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Barycentre

On se donne $ X$ un espace affine.

Définition - Proposition Etant donnés $ x_1,...,x_n$ des points de l'espace affine $ X$, des scalaires $ t_1,...,t_n$ de somme 0, le vecteur $ t_1.\overrightarrow {Ox_1}+t_2.\overrightarrow {Ox_2}+...+t_n.\overrightarrow {Ox_n}$ est indépendant de $ O \in X$.

Etant donnés $ x_1,...,x_n$ des points de $ X$, des scalaires $ t_1,...,t_n$ de somme $ 1$, le point $ O+t_1.\overrightarrow {Ox_1}+t_2.\overrightarrow {Ox_2}+...+t_n.\overrightarrow {Ox_n}$ est indépendant de $ O \in X$. On l'appelle barycentre des $ (x_i,t_i)$ pour $ i \in \{1,...,n\}$.

Attention! Un barycentre est ici défini pour une somme de coefficients égale à $ 1$; mais on peut aussi le définir pour une somme quelconque, en remplaçant $ O+t_1.\overrightarrow {Ox_1}+t_2.\overrightarrow {Ox_2}+...+t_n.\overrightarrow {Ox_n}$ par

$\displaystyle O+\frac{t_1}t \overrightarrow {Ox_1} + \frac{t_2}t \overrightarrow {Ox_2} + ... + \frac{t_n}t \overrightarrow {Ox_n}$

avec $ t=\sum t_i$.

On appelle isobarycentre de $ n$ points le barycentre de ces points pondérés par $ \frac1n$.

Démonstration: Facile comme tout en utilisant Chasles!

Quelques remarques:

$ \bullet $On ne change pas le barycentre en multipliant tous les $ t_i$ par une même constante non nulle.

$ \bullet $Si $ t_i=0$ on peut se passer de $ (x_i,t_i)$.

$ \bullet $$ x$ est le barycentre des $ (x_i,t_i)$ si et seulement si $ \sum_{i\in [1,n]} t_i.\overrightarrow {xx_i}=\overrightarrow 0$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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