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Coordonnées cartésiennes, coordonnées barycentriques

Définition - Proposition

Etant donné $ X$ un espace affine , la famille finie $ (x_i)_{i\in[1,p]}$ de points de $ X$ est dite affinement libre si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée:

$ \bullet $il existe $ i$ tel que $ (\overrightarrow {x_ix_j})_{j\in[1,p],j\neq i}$ soit une famille libre.

$ \bullet $pour tout $ i$ dans $ [1,p]$ la famille $ (\overrightarrow {x_ix_j})_{j\in[1,p],j\neq i}$ est une famille libre.

Une famille infinie de $ X$ est dite affinement libre lorsque toute sous-famille finie de cette famille est affinement libre.

Etant donné $ X$ un espace affine de dimension finie et $ \overrightarrow X$ sa direction, on se donne $ \overrightarrow e_1,...,\overrightarrow e_n$ une base de $ \overrightarrow X$, et $ O$ un point de $ X$. Alors tout point $ x$ de $ X$ s'écrit de manière unique sous la forme

$\displaystyle x=O+t_1.\overrightarrow e_1+...+t_n.\overrightarrow e_n      (*)$

Avec $ x_i$ défini par $ x_i=O+e_i$, la famille $ (O,x_1,...,x_n)$ est appelée repère affine de $ X$; c'est en particulier une famille affinement libre. Il est suffisant pour qu'une famille affinement libre soit un repère affine que son cardinal soit $ (n+1)$.

$ (O,\overrightarrow e_1,...,\overrightarrow e_n)$ est appelé repère cartésien de $ X$.

Les $ t_i$ sont appelés coordonnées cartésiennes de $ x$.

On note qu'avec $ t_0=1-t_1-t_2-...-t_n$, la relation $ (*)$ équivaut à la relation

$\displaystyle \overrightarrow {Ox}=t_0.\overrightarrow {OO}+t_1.\overrightarrow {Ox_1}+t_2.\overrightarrow {Ox_2}+...+t_n.\overrightarrow {Ox_n}$

avec $ \sum_{i=0}^n t_i=1$, si bien que pour tout $ M$

$\displaystyle \overrightarrow {Mx}=t_0.\overrightarrow {MO}+t_1.\overrightarrow {Mx_1}+t_2.\overrightarrow {Mx_2}+...+t_n.\overrightarrow {Mx_n}$

On a (dans ce cas, c'est-à-dire avec les $ \overrightarrow {e_i}$ formant une base de $ \overrightarrow {X}$) existence et unicité de cette décomposition barycentrique.

Les $ t_i$ tels que $ \sum_{i=0..n} t_i \neq 0$ et $ (\sum_{i=0..n} t_i).\overrightarrow {Mx}=t_0.\overrightarrow {MO}+t_1.\overrightarrow {Mx_1}+t_2.\overrightarrow {Mx_2}+...+t_n.\overrightarrow {Mx_n}$ sont appelés des coordonées barycentriques de $ x$ dans le repère affine $ (O,x_1,...,x_n)$.

Les $ t_i$ tels que $ \sum_{i=0..n} t_i=1$ et $ \overrightarrow {Mx}=t_0.\overrightarrow {MO}+t_1.\overrightarrow {Mx_1}+t_2.\overrightarrow {Mx_2}+...+t_n.\overrightarrow {Mx_n}$ sont appelés les coordonées barycentriques normalisées de $ x$ dans le repère affine $ (O,x_1,...,x_n)$.


La méthode de passage des coordonées cartésiennes aux coordonnées barycentriques est à retenir; si $ \overrightarrow {OM}=\sum t_i \overrightarrow {Ox_i}$, alors les coordonnées barycentriques normalisées de $ M$ dans $ (O,x_1,x_2,...,x_n)$ sont $ (1-\sum t_i,t_1,t_2,...t_n)$.

On remarque (preuves faciles) que :

$ \bullet $une famille finie est affinement libre si et seulement si aucun de ses points ne peut s'exprimer comme barycentre des autres.

$ \bullet $deux points distincts forment toujours une famille affinement libre

$ \bullet $étant donné un repère vectoriel $ R$, une famille de $ (n+1)$ points $ x_1,...,x_{n+1}$ en dimension $ n$ est affinement libre si et seulement si le déterminant suivant est non nul, avec $ x_i$ de coordonnées cartésiennes $ (t_{i,1},...,t_{i,n})$ dans $ R$:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccc}
t_{1,1} & t_{2,1} & \dots & t_{n,...
...dots & t_{n,n} & t_{n+1,n} \\
1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\
\end{array}\right\vert$

(il suffit pour le voir de soustraire la première ligne à toutes les autres puis de revenir à la définition d'un famille affinement libre (proposition-définition [*]))

$ \bullet $étant donné un repère affine, une famille de $ n+1$ points en dimension $ n$ est affinement libre si et seulement si le produit mixte de leurs vecteurs de coordonées barycentriques dans ce repère est non nul. Autrement dit les $ (n+1)$ points $ x_0,...,x_n$, avec $ x_i$ de coordonnées barycentriques $ (u_{i,0},...,u_{i,n})$ forment une famille affinement libre si et seulement si le déterminant suivant est non nul:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccc}
u_{1,0} & u_{2,0} & \dots & u_{n,...
... \\
u_{1,n} & u_{2,n} & \dots & u_{n,n} & u_{n+1,n} \\
\end{array}\right\vert$

(il suffit pour le comprendre de considérer ce déterminant et de remplacer la première ligne par la somme de toutes les lignes - puis de se ramener au point précédent)

Définition - Proposition On se place dans un espace affine de dimension finie $ n$.

On a vu qu'une famille de $ n$ points est liée si et seulement si le produit mixte de leurs coordonnées barycentriques dans un repère affine donné est nul. Donc, si l'on se donne $ n$ points affinement libres, l'ensemble des points appartenant à l'hyperplan engendré par ces $ n$ points $ (P_i)_{i \in [1,n]}$, avec $ P_i$ de coordonnées barycentriques $ (t_{i,j})_{j \in [0,n]}$, est l'ensemble des points de coordonnées barycentriques $ x_0,...,x_n$ telles que

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccc}
t_{1,0} & t_{2,0} & \dots & t_{n,0...
... \vdots \\
t_{1,n} & t_{2,n} & \dots & t_{n,n} & x_n
\end{array}\right\vert=0$

En développant le déterminant suivant la dernière colonne, on obtient une équation linéaire en les $ x_i$, de la forme $ u_0.x_0+u_1.x_1+\dots+u_n.x_n=0$; le vecteur $ (u_0,u_1,...,u_n)$ est un vecteur de coordonnées tangentielles de l'hyperplan.

Les coordonnées tangentielles d'un hyperplan sont uniques à proportionalité près. Un $ n$-uplet est un vecteur de coordonnées tangentielles d'un hyperplan si et seulement si ses coordonnées ne sont pas toutes nulles.



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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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