Une application de dans (deux espaces affines );
est dite affine si l'une des deux conditions équivalentes
suivantes est vérifiée:
il existe tel que l'application
soit une application
linéaire de
dans
;
pour tout l'application
est une application
linéaire de
dans
.
L'application linéaire est alors indépendante du point ; on l'appelle application linéaire associée à ; on la note
.
Si
est une forme linéaire, c'est-à-dire si est de dimension (est une droite), ont dit que est une forme affine.
Un isomorphisme d'espaces affines est une bijection linéaire entre deux espaces affines .
Proposition
L'application linéaire
associée à une application affine vérifie
ce que l'on peut aussi écrire
Etant donné appartenant à , avec un espace affine , deux applications affines de même espace de départ et de même espace d'arrivée sont égales si et seulement si leurs applications linéaires associées sont égales et si elles coïncident en .
Toute application affine d'un
dans un
est différentiable en tout point; la différentielle de (en n'importe quel point) est égale à
.
d'un espace affine dans un autre est affine si et seulement si
pour toute famille
d'éléments de
et toute famille
de réel de somme
on a
Une composée d'applications affines est affine.
La réciproque d'une bijection affine est une bijection affine.
L'ensemble des bijections affines d'un espace affine sur lui-même est un groupe
pour la composition. On l'appelle groupe affine de (noté
). On pourra consulter pour plus d'informations.
Une application d'un espace affine dans un autre est affine si et seulement si elle conserve le barycentre, c'est-à-dire si l'image du barycentre des est le barycentre des
pour toute famille finie et toute famille de scalaires .
Proposition [Sur les points fixes des applications affines]
Si est affine de dans (avec un espace affine )
et a un point fixe , alors l'application
induit une application linéaire du vectorialisé de en dans
le vectorialisé de en .
Si affine de dans admet un point fixe
alors l'ensemble des points fixes de
est avec le noyau de .
Si est un espace affine de dimension finie, si est affine de
dans avec
ayant un unique point fixe,
alors a un unique point fixe (et l'unique point fixe de
est nécéssairement 0).
Définition
Une application affine est appelée homothétie affine
si et seulement si
est une homothétie (i.e. de la forme
avec
).
Proposition
Une homothétie affine admet un et un seul point fixe.
Démonstration:Application immédiate du dernier point de la proposition ci-dessus, une homothétie linéaire de rapport différent de ayant 0 pour unique point fixe.
de 
dans 
(deux espaces affines 
il existe 
tel que l'application
soit une application
linéaire
dans
;
; on l'appelle application linéaire associée à 
.
est une forme linéaire, c'est-à-dire si 
(est une droite), ont dit que 
dans un
est différentiable
d'éléments de 
de réel de somme
on a
sur lui-même est un groupe
pour la composition. On l'appelle groupe affine
). On pourra ![[*]](/images/crossref.png)
est le barycentre des
pour toute famille finie 
et toute famille de scalaires 
.
avec 
le noyau de 
.
avec
).
