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Applications affines

Définition - Proposition

Une application $ f$ de $ X$ dans $ X'$ (deux espaces affines ); est dite affine si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée:

$ \bullet $il existe $ x$ tel que l'application $ \overrightarrow u \mapsto \overrightarrow {f(x)f(x+u)}$ soit une application linéaire de $ \overrightarrow X$ dans $ \overrightarrow X'$;

$ \bullet $pour tout $ x$ l'application $ \overrightarrow u \mapsto \overrightarrow {f(x)f(x+u)}$ est une application linéaire de $ \overrightarrow X$ dans $ \overrightarrow X'$.

L'application linéaire est alors indépendante du point $ x_0$; on l'appelle application linéaire associée à $ f$; on la note $ \overrightarrow {f}$.

Si $ \overrightarrow f$ est une forme linéaire, c'est-à-dire si $ X'$ est de dimension $ 1$ (est une droite), ont dit que $ f$ est une forme affine.

Un isomorphisme d'espaces affines est une bijection linéaire entre deux espaces affines .


Proposition L'application linéaire $ \overrightarrow {f}$ associée à une application affine $ f$ vérifie

$\displaystyle \forall (x,y)\in X^2 \overrightarrow {f}(\overrightarrow {xy})=\overrightarrow {f(x)f(y)}$

ce que l'on peut aussi écrire

$\displaystyle \forall (x,y)\in X^2 f(y)=f(x)+\overrightarrow {f}(\overrightarrow {xy})$

Etant donné $ x$ appartenant à $ X$, avec $ X$ un espace affine , deux applications affines de même espace de départ $ X$ et de même espace d'arrivée $ X'$ sont égales si et seulement si leurs applications linéaires associées sont égales et si elles coïncident en $ x$.

Toute application affine $ f$ d'un $ \mathbb{R}^n$ dans un $ \mathbb{R}^m$ est différentiable en tout point; la différentielle de $ f$ (en n'importe quel point) est égale à $ \overrightarrow f$.

$ f$ d'un espace affine dans un autre est affine si et seulement si pour toute famille $ (x_1,...,x_n)$ d'éléments de $ X$ et toute famille $ (t_1,...,t_n)$ de réel de somme $ \sum_{i=1}^n t_i = 1$ on a

$\displaystyle f(\sum_{i=1}^n t_i.x_i)=\sum_{i=1}^n t_i.f(x_i)$

Une composée d'applications affines est affine.

La réciproque d'une bijection affine est une bijection affine.

L'ensemble des bijections affines d'un espace affine $ E$ sur lui-même est un groupe pour la composition. On l'appelle groupe affine de $ E$ (noté $ GA(E)$). On pourra consulter[*] pour plus d'informations.

Une application $ f$ d'un espace affine dans un autre est affine si et seulement si elle conserve le barycentre, c'est-à-dire si l'image du barycentre des $ (x_i,t_i)$ est le barycentre des $ (f(x_i),t_i)$ pour toute famille finie $ (x_i)$ et toute famille de scalaires $ (t_i)$.

Proposition [Sur les points fixes des applications affines]

Si $ f$ est affine de $ X$ dans $ X$ (avec $ X$ un espace affine ) et a un point fixe $ x$, alors l'application $ f$ induit une application linéaire du vectorialisé de $ f$ en $ x$ dans le vectorialisé de $ f$ en $ x$.

Si $ f$ affine de $ X$ dans $ X$ admet un point fixe $ x$ alors l'ensemble des points fixes de $ f$ est $ x+F$ avec $ F$ le noyau de $ (f-I)$.

Si $ X$ est un espace affine de dimension finie, si $ f$ est affine de $ X$ dans $ X$ avec $ \overrightarrow {f}$ ayant un unique point fixe, alors $ f$ a un unique point fixe (et l'unique point fixe de $ \overrightarrow {f}$ est nécéssairement 0).

Définition Une application affine $ f$ est appelée homothétie affine si et seulement si $ \overrightarrow {f}$ est une homothétie (i.e. de la forme $ x \mapsto {\lambda}.x$ avec $ {\lambda}\neq 1$).

Proposition Une homothétie affine admet un et un seul point fixe.

Démonstration: Application immédiate du dernier point de la proposition ci-dessus, une homothétie linéaire de rapport différent de $ 1$ ayant 0 pour unique point fixe.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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