Définition
On appelle sous-espace affine d'un espace affine une partie telle que l'une des deux propriétés équivalentes suivantes soit vérifiée pour un certain sous-espace vectoriel de
:
il existe dans tel que
pour tout dans ; est la direction de .
Deux sous-espaces affines d'un espace affine sont dits supplémentaires si et seulement si leurs directions
sont supplémentaires.
On appelle hyperplan affine d'un espace affine un sous-espace affine de admettant un sous-espace affine
supplémentaire de dimension .
Un sous-espace affine est un espace affine .
Définition- Proposition
Etant donné une partie non vide d'un espace affine , l'ensemble des barycentres de parties finies de est un sous-espace affine de ; on l'appelle sous-espace affine engendré par .
Proposition
Une partie non vide d'un espace affine est un sous-espace affine de si et seulement si tout barycentre d'une famille finie de points de est dans .
Une partie non vide d'un espace affine est un sous-espace affine de si et seulement si contient toute droite engendrée par deux points de .
Le sous-espace affine engendré par une partie finie non vide est de dimension
(cardinal de moins ) si et seulement si la famille des éléments de est affinement libre.
L'image d'un sous-espace affine par une application affine d'un espace affine
dans un espace affine est un sous-espace affine de l'espace affine de direction
.
L'image réciproque d'un sous-espace affine par une application affine est soit vide soit un sous-espace affine
de direction l'image réciproque par
de
.
Si est parallèle à , avec et deux sous-espaces affines de , si est une application
affine, alors est parallèle à .
Un sous-espace affine de dimension d'un espace affine de dimension s'exprime comme intersection de
images réciproques de singletons par des formes affines indépendantes; c'est-à-dire
pour une certaine famille de formes affines indépendantes et des scalaires .
La direction de est l'espace vectoriel
Etant donnés et deux sous-espaces affines disjoints d'un espace affine , la dimension du sous-espace affine engendré
par est égale à la dimension de
plus un.
Etant donnés et deux sous-espaces affines de dimension finie et non disjoints d'un espace affine , la dimension du sous-espace affine engendré par est égale à la dimension de plus la dimension de moins la dimension de (
).
telle que l'une des deux propriétés équivalentes suivantes soit vérifiée pour un certain sous-espace vectoriel 
de
:
il existe 
dans 
.
(cardinal de 
par une application affine 
d'un espace affine 
est un sous-espace affine de l'espace affine 
.
de
.
, avec 
est parallèle à 
.
d'un espace affine 
s'exprime comme intersection de
images réciproques de singletons par des formes affines indépendantes; c'est-à-dire
![$\displaystyle Y=\{ x \in X / \forall i \in [1,n-p] f_i(x)=b_i\}$](/g/a/a/img133.png){kind=small}
de formes affines indépendantes et des scalaires 
.
La direction de ![$\displaystyle \overrightarrow {Y}=\{\overrightarrow x\in \overrightarrow X / \forall i \in [1,n-p], \overrightarrow {f_i}(\overrightarrow x)=0\}$](/g/a/a/img136.png){kind=small}
et 
deux sous-espaces affines disjoints d'un espace affine 
est égale à la dimension de
plus un.
(
).
