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Sous-espaces affines d'un espace affine

Définition On appelle sous-espace affine d'un espace affine $ X$ une partie $ P$ telle que l'une des deux propriétés équivalentes suivantes soit vérifiée pour un certain sous-espace vectoriel $ F$ de $ \overrightarrow X$:

$ \bullet $il existe $ x$ dans $ X$ tel que $ P=F+x$

$ \bullet $pour tout $ x$ dans $ X$ $ P=F+x$; $ F$ est la direction de $ X$.

Deux sous-espaces affines d'un espace affine sont dits supplémentaires si et seulement si leurs directions sont supplémentaires.

On appelle hyperplan affine d'un espace affine $ X$ un sous-espace affine de $ X$ admettant un sous-espace affine supplémentaire de dimension $ 1$.

Un sous-espace affine est un espace affine .

Définition - Proposition Etant donné $ P$ une partie non vide d'un espace affine $ X$, l'ensemble des barycentres de parties finies de $ P$ est un sous-espace affine de $ X$; on l'appelle sous-espace affine engendré par $ P$.


Proposition Une partie non vide $ P$ d'un espace affine $ X$ est un sous-espace affine de $ X$ si et seulement si tout barycentre d'une famille finie de points de $ P$ est dans $ P$.

Une partie non vide $ P$ d'un espace affine $ X$ est un sous-espace affine de $ X$ si et seulement si $ P$ contient toute droite engendrée par deux points de $ P$.

Le sous-espace affine engendré par une partie finie non vide $ P$ est de dimension $ card( P ) -1 $ (cardinal de $ P$ moins $ 1$) si et seulement si la famille des éléments de $ P$ est affinement libre.

L'image d'un sous-espace affine $ Y$ par une application affine $ f$ d'un espace affine $ X$ dans un espace affine $ X'$ est un sous-espace affine de l'espace affine $ X'$ de direction $ \overrightarrow {f}(\overrightarrow Y)$.

L'image réciproque d'un sous-espace affine $ Y$ par une application affine $ f$ est soit vide soit un sous-espace affine de direction l'image réciproque par $ \overrightarrow f$ de $ \overrightarrow Y$.

Si $ Y$ est parallèle à $ Z$, avec $ Y$ et $ Z$ deux sous-espaces affines de $ X$, si $ f$ est une application affine, alors $ f(Y)$ est parallèle à $ f(Z)$.

Un sous-espace affine $ Y$ de dimension $ p$ d'un espace affine $ X$ de dimension $ n$ s'exprime comme intersection de $ (n-p)$ images réciproques de singletons par des formes affines indépendantes; c'est-à-dire

$\displaystyle Y=\{ x \in X / \forall i \in [1,n-p] f_i(x)=b_i\}$

pour une certaine famille $ f_i$ de formes affines indépendantes et des scalaires $ b_i$. La direction de $ Y$ est l'espace vectoriel

$\displaystyle \overrightarrow {Y}=\{\overrightarrow x\in \overrightarrow X / \forall i \in [1,n-p], \overrightarrow {f_i}(\overrightarrow x)=0\}$

Etant donnés $ A$ et $ B$ deux sous-espaces affines disjoints d'un espace affine $ X$, la dimension du sous-espace affine engendré par $ A\cup B$ est égale à la dimension de $ \overrightarrow A+\overrightarrow B$ plus un.

Etant donnés $ A$ et $ B$ deux sous-espaces affines de dimension finie et non disjoints d'un espace affine $ X$, la dimension du sous-espace affine engendré par $ A\cup B$ est égale à la dimension de $ A$ plus la dimension de $ B$ moins la dimension de $ A\cap B$ ( $ \dim A+\dim B- \dim A \cap B=\dim Vect(A\cup B)$).


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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