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Projections dans un espace affine

Définition On se donne $ Y$ et $ Z$ deux sous-espaces affines supplémentaires de $ X$ (un espace affine ). Alors (voir plus haut) l'intersection de $ Y$ et $ Z$ est réduite à un singleton; appelons $ O$ ce singleton. On considère alors $ \overrightarrow X$ le vectorialisé de $ X$ et $ O$, $ \overrightarrow Y$ le vectorialisé de $ Y$ en $ O$, et $ \overrightarrow Z$ le vectorialisé de $ Z$ en $ O$. Tout point $ x$ de $ X$ est aussi un point de $ \overrightarrow X$; or $ \overrightarrow X=\overrightarrow Y \oplus \overrightarrow Z$; donc $ x = y + z$ avec $ y$ dans $ \overrightarrow Y$ et $ z$ dans $ \overrightarrow Z$. On appelle $ y$ le projeté de $ x$ sur $ Y$ parallèlement à $ Z$. L'application qui à $ x$ associe son projeté sur $ Y$ parallèlement à $ Z$ est appelée projecteur sur $ Y$ parallèlement à $ Z$.

On remarque que si $ Z$ et $ Z'$ sont parallèles alors le projecteur sur $ Y$ parallèlement à $ Z$ est égal au projecteur sur $ Y$ parallèlement à $ Z'$.

Voyons quelques propriétés des projecteurs:

Proposition [Propriétés des projecteurs] En notant $ p$ le projecteur sur $ Y$ parallèlement à $ Z$:

$ \bullet $pour tout $ x$ dans $ X$ $ p(x)$ est l'unique point de $ Y$ tel que $ \overrightarrow {xp(x)} \in \overrightarrow Z$, avec $ \overrightarrow Z$ la direction de $ Z$.

$ \bullet $ $ p\circ p =p$ ($ p$ est idempotent)

$ \bullet $$ p$ est affine

$ \bullet $$ p(X)=Y$

$ \bullet $$ p$ induit l'identité sur $ Y$

$ \bullet $ $ \overrightarrow Z$ est le noyau de $ \overrightarrow p$.

Et maintenant des caractérisations:

Proposition [Caractérisations des projecteurs] $ \bullet $Toute application affine idempotente est un projecteur.

$ \bullet $Toute application $ f$ affine ayant un point fixe et telle que $ \overrightarrow f \circ \overrightarrow f=\overrightarrow f$ est un projecteur


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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