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Symétries dans un espace affine

Définition Etant donné $ X$ un espace affine , le point $ x + \frac12 \overrightarrow {xy}=y+\frac12 \overrightarrow {yx}$ est appelé milieu de $ xy$. C'est le barycentre de $ (x,\frac12)$ et $ (y,\frac12)$.

On appelle symétrie une application affine $ f$ d'un espace affine dans lui-même telle que $ f \circ f = I$ (i.e. $ f$ est involutive).

Quelques caractérisations:

Proposition $ \bullet $Une application $ f$ d'un espace affine dans lui-même est une symétrie si et seulement si $ f$ est affine, admet un point fixe, et vérifie $ \overrightarrow f \circ \overrightarrow f=\overrightarrow f$

$ \bullet $Une application $ f$ d'un espace affine $ X$ dans lui-même est une symétrie si et seulement si il existe deux sous-espaces affines $ Y$ et $ Z$ supplémentaires de $ X$ tels que, pour tout $ x$, le milieu de $ xf(x)$ appartienne à $ Y$ et $ \overrightarrow {xf(x)} \in \overrightarrow Z$.

$ \bullet $Une application $ f$ d'un espace affine $ X$ dans lui-même est une symétrie si et seulement si il existe $ p$ un projecteur de $ X$ tel que $ \overrightarrow {xf(x)}=2.\overrightarrow {xp(x)}$.

$ \bullet $Une application $ f$ d'un espace affine $ X$ dans lui-même est une symétrie si et seulement si il existe $ p$ un projecteur de $ X$ tel que $ p(x)$ soit le milieu de $ xf(x)$.

Définition Le projecteur évoqué dans les deux derniers points de la proposition ci-dessus est unique; la symétrie et le projecteur en question sont dits associés.

Définition - Proposition Une symétrie $ f$ est entièrement caractérisée par l'ensemble $ Y$ de ses points fixes et par le sous-espace vectoriel $ \overrightarrow Z$ de $ \overrightarrow {X}$ des vecteurs de la forme $ \overrightarrow {xf(x)}$; on l'appelle symétrie par rapport à $ Y$ parallèlement à $ \overrightarrow Z$ (ou par rapport à $ Z$, avec $ Z$ sous-espace affine quelconque de $ X$ de direction $ \overrightarrow Z$).

Le sous-espace vectoriel $ \overrightarrow Z$ de $ \overrightarrow X$ est aussi le sous-espace propre associé à la valeur propre $ -1$ pour l'endomorphisme $ \overrightarrow f$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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