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Théorie

Définition - Proposition On appelle droite projective associée au corps $\mathbb{K}$ et on note $P^1(\mathbb{K})$ l'ensemble $\mathbb{K}\cup \{\infty\}$ , sur lequel on prolonge les lois d'addition et de multiplication en posant $x+\infty=\infty$ pour tout $x\in \mathbb{K}\cup \{\infty\}$ et $\{x.\infty\}=\infty$ pour tout $x\in \mathbb{K}^*\cup\{\infty\}$ , le produit $0.\infty$ n'étant pas défini. On prolonge la division en posant $x/\infty=0$ et $x/0=\infty$ pour tout $x\in \mathbb{K}^*\cup\{\infty\}$ .

Toute application affine de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$ peut être prolongée en une application de $P^1(\mathbb{K})$ dans $P^1(\mathbb{K})$ , en posant $f(\infty)=\infty$ .

Soit une matrice de $GL_2(\mathbb{K})$ , noté $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ ; alors l'homographie de $P^1(\mathbb{K})$ associée à est par définition l'application qui à dans $P^1(\mathbb{K})$ associe

$\bullet\$ $\frac{a.x+b}{c.x+d}$ si $c.x+d \neq 0$

$\bullet\$ $\infty$ si

$\bullet\$ $\frac ac$ si $x=\infty$

On note cette application .

Si $c\neq 0$ , induit une bijection de $\mathbb{K}\setminus \{ -\frac dc\}$ sur $\mathbb{K}\setminus \{ \frac a c\}$ . On en déduit que est une bijection de $P^1(\mathbb{K})$ sur $P^1(\mathbb{K})$ . Un calcul simple montre que sa réciproque est l'homographie associée à l'inverse de la matrice .

L'ensemble des homographies de $P^1(\mathbb{K})$ est un groupe pour la composition. On l'appelle groupe projectif de $\mathbb{K}$ ; on le note $GP^1(\mathbb{K})$ .

L'application qui à associe est un morphisme du groupe $GL_2(\mathbb{K})$ dans $GP^1(\mathbb{K})$ . Son noyau est l'ensemble $(\mathbb{K}^*).I$ , c'est-à-dire le groupe des matrices non nulles proportionnelles à la matrice identité (ce noyau, comme tout noyau d'un morphisme de groupe, est distingué).

On en déduit donc $GP^1(\mathbb{K}) \simeq GL_2(\mathbb{K}) / \mathbb{K}^*.I=PGL_2(\mathbb{K})$ .

Définition - Proposition Etant donné une droite affine (c'est-à-dire un espace affine de dimension ), on peut considérer sa droite projective complétée $\widetilde D$ , consistant en $D \cup \{\infty\}$ . Une abscisse sur se prolonge en une bijection de $\widetilde D$ sur $P^1(\mathbb{K})$ , par $m(\infty)=\infty$ ; cette application sera encore appelée abscisse, sur $\widetilde D$ .

On appelle homographie de $\widetilde D$ sur $\widetilde D'$ une application de sur telle qu'il existe des abscisses et respectivement sur $\widetilde D$ et $\widetilde D'$ telles que $h=m'^{-1}\circ H \circ m$ , avec une homographie de $P^1(\mathbb{K})$ .

Un composée d'homographies (quel que soit le contexte) est encore une homographie.

Une homographie est toujours bijective.

L'ensemble des homographies de $\widetilde D$ sur lui-même forme un groupe pour $\circ$ , isomorphe à $GP^1(\mathbb{K})$ ; on le note $GP(\widetilde D)$ , et on l'appelle groupe projectif de $\widetilde D$ .

Etant donnée une droite affine munie d'un repère affine, donc d'une abscisse, on se donne points , , et distincts d'abscisses respectives , , et . On appelle birapport de , , et et on note $[A,B,C,D]=\frac{a-c}{a-d}.\frac{b-d}{b-c}$ .

On a les propriétés suivantes du birapport:

$\bullet\$ le birapport est indépendant de l'abscisse choisie.

$\bullet\$ le birapport n'est pas indépendant de l'ordre.

$\bullet\$

$\bullet\$ $[A,B,C,D]=\frac 1 {[A,B,D,C]}= \frac 1 {[B,A,C,D]}$

$\bullet\$

En constatant que le birapport avec points fixés est une homographie, on va la prolonger.

Ainsi, on prolonge le birapport au cas où l'un des points est $\infty$ , de la manière logique intuitivement, c'est-à-dire que les termes incluant $\infty$ "se compensent". Ainsi on a par exemple

$\displaystyle [A,B,C,\infty]=\frac{a-c}{b-c}$

$\displaystyle [A,B,\infty,D]=\frac{b-d}{a-d}$

$\displaystyle [A,\infty,C,D]=\frac{a-c}{a-d}$

$\displaystyle [\infty,B,C,D]=\frac{b-d}{b-c}$

Ensuite, on prolonge le birapport au cas où deux points sont égaux:

$\displaystyle [A,A,C,D]=[A,B,C,C]=1$

$\displaystyle [A,B,A,D]=[A,B,C,B]=0$

$\displaystyle [A,B,C,A]=[A,B,B,D]=\infty$

Le birapport est invariant par homographie: $\forall A,B,C,D \in P^1(\mathbb{K}), \forall f \in PGL_2(\mathbb{K}), [f(A),f(B),f(C),f(D)]=[A,B,C,D]$ .

Définition - Proposition

Toute homographie de $\widetilde D$ , avec une droite affine, s'exprime de manière unique sous la forme $M \mapsto [M,A,B,C]$ pour un certain triplet de points distincts de $\widetilde D$ . On appelle repère projectif de $\widetilde D$ un triplet de points distincts, et est appelé coordonnée de dans le repère projectif .

L'application qui à un point associe sa coordonnée dans un repère projectif est égale à composition par une homographie près à l'application qui à un point associe sa coordonnée dans un autre repère projectif.

Etant donnés deux triplets de points distincts et respectivement sur $\widetilde D$ et $\widetilde D'$ (deux droites projectives), il existe une et une seule homographie de $\widetilde D$ sur $\widetilde D'$ telle que , et .

Etant donnés deux quadruplets de points distincts et respectivement sur $\tilde E$ et $\tilde E'$ (deux droites projectives), il existe une homographie de $\tilde E$ sur $\tilde E'$ telle que , , et si et seulement si .

Une bijection entre deux droites projectives est une homographie si et seulement si elle conserve le birapport.

Etant donné $\widetilde D$ une droite projective, et $d \in \widetilde D$ , $\widetilde D$ induit sur $E=\widetilde D \setminus \{d\}$ une structure de droite affine; est l'ensemble des applications induites sur par des homographies de $\widetilde D$ dont est un point fixe (on en déduit donc que tous les points de $\widetilde D$ jouent le même rôle, même $\infty$ ).