Définition- Proposition
On appelle droite projective associée au corps
et on note l'ensemble
, sur lequel on prolonge les lois d'addition et de multiplication en posant
pour tout
et
pour tout
, le produit n'étant pas défini. On prolonge la division en posant
et
pour tout
.
Toute application affine de
dans
peut être prolongée en une application de
dans
, en posant
.
Soit une matrice de
, noté
;
alors l'homographie de
associée à
est par définition l'application qui à dans
associe
si
si
si
On note cette application .
Si , induit une bijection de
sur
. On en déduit que est une bijection de
sur
. Un calcul simple montre que sa réciproque est l'homographie associée à l'inverse de la matrice .
L'ensemble des homographies de
est un groupe pour la composition. On l'appelle groupe projectif de
; on le note
.
L'application qui à associe est un morphisme du groupe
dans
. Son noyau est l'ensemble
, c'est-à-dire le groupe des matrices non nulles proportionnelles à la matrice identité (ce noyau, comme tout noyau d'un morphisme de groupe, est distingué).
On en déduit donc
.
Définition- Proposition
Etant donné une droite affine (c'est-à-dire un espace affine de dimension ), on peut considérer sa droite projective complétée
, consistant en
. Une abscisse sur se prolonge en une bijection de
sur
, par
; cette application sera encore appelée abscisse, sur
.
On appelle homographie de
sur
une application de sur telle qu'il existe des abscisses et respectivement sur
et
telles que
, avec une homographie de
.
Un composée d'homographies (quel que soit le contexte) est encore une homographie.
Une homographie est toujours bijective.
L'ensemble des homographies de
sur lui-même forme un groupe pour , isomorphe à
; on le note , et on l'appelle groupe projectif de
.
Etant donnée une droite affine munie d'un repère affine, donc d'une abscisse, on se donne points , , et distincts d'abscisses respectives , , et . On appelle birapport de , , et et on note
.
On a les propriétés suivantes du birapport:
le birapport est indépendant de l'abscisse choisie.
le birapport n'est pas indépendant de l'ordre.
En constatant que le birapport avec points fixés est une homographie, on va la prolonger.
Ainsi, on prolonge le birapport au cas où l'un des points est , de la manière logique intuitivement, c'est-à-dire que les termes incluant "se compensent". Ainsi on a
par exemple
Ensuite, on prolonge le birapport au cas où deux points sont égaux:
Le birapport est invariant par homographie:
.
Définition- Proposition
Toute homographie de
, avec une droite affine, s'exprime de manière unique sous la forme
pour un certain triplet de points distincts de
. On appelle repère projectif de
un triplet de points distincts, et est appelé coordonnée de dans le repère projectif .
L'application qui à un point associe sa coordonnée dans un repère projectif est égale à composition par une homographie près à l'application qui à un point associe sa coordonnée dans un autre repère projectif.
Etant donnés deux triplets de points distincts et
respectivement sur
et
(deux droites projectives), il existe une et une seule homographie de
sur
telle que , et .
Etant donnés deux quadruplets de points distincts et
respectivement sur et (deux droites projectives), il existe une homographie de sur telle que , , et si et seulement si
.
Une bijection entre deux droites projectives est une homographie si et seulement si elle conserve le birapport.
Etant donné
une droite projective, et
,
induit sur
une structure de droite affine; est l'ensemble des applications induites sur par des homographies de
dont est un point fixe (on en déduit donc que tous les points de
jouent le même rôle, même ).