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Théorie

Définition - Proposition On appelle droite projective associée au corps $ \mathbb{K}$ et on note $ P^1(\mathbb{K})$ l'ensemble $ \mathbb{K}\cup \{\infty\}$, sur lequel on prolonge les lois d'addition et de multiplication en posant $ x+\infty=\infty$ pour tout $ x\in \mathbb{K}\cup \{\infty\}$ et $ \{x.\infty\}=\infty$ pour tout $ x\in \mathbb{K}^*\cup\{\infty\}$, le produit $ 0.\infty$ n'étant pas défini. On prolonge la division en posant $ x/\infty=0$ et $ x/0=\infty$ pour tout $ x\in \mathbb{K}^*\cup\{\infty\}$.

Toute application affine $ f$ de $ \mathbb{K}$ dans $ \mathbb{K}$ peut être prolongée en une application de $ P^1(\mathbb{K})$ dans $ P^1(\mathbb{K})$, en posant $ f(\infty)=\infty$.

Soit $ M$ une matrice de $ GL_2(\mathbb{K})$, noté $ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$; alors l'homographie de $ P^1(\mathbb{K})$ associée à $ M$ est par définition l'application qui à $ x$ dans $ P^1(\mathbb{K})$ associe

$ \bullet\ $ $ \frac{a.x+b}{c.x+d}$ si $ c.x+d \neq 0$

$ \bullet\ $$ \infty$ si $ c.x+d=0$

$ \bullet\ $$ \frac ac$ si $ x=\infty$

On note cette application $ H(M)$.

Si $ c\neq 0$, $ H(M)$ induit une bijection de $ \mathbb{K}\setminus \{ -\frac dc\}$ sur $ \mathbb{K}\setminus \{ \frac a c\}$. On en déduit que $ H(M)$ est une bijection de $ P^1(\mathbb{K})$ sur $ P^1(\mathbb{K})$. Un calcul simple montre que sa réciproque est l'homographie associée à l'inverse de la matrice $ M$.

L'ensemble des homographies de $ P^1(\mathbb{K})$ est un groupe pour la composition. On l'appelle groupe projectif de $ \mathbb{K}$; on le note $ GP^1(\mathbb{K})$.

L'application qui à $ M$ associe $ H(M)$ est un morphisme du groupe $ GL_2(\mathbb{K})$ dans $ GP^1(\mathbb{K})$. Son noyau est l'ensemble $ (\mathbb{K}^*).I$, c'est-à-dire le groupe des matrices non nulles proportionnelles à la matrice identité (ce noyau, comme tout noyau d'un morphisme de groupe, est distingué).

On en déduit donc $ GP^1(\mathbb{K}) \simeq GL_2(\mathbb{K}) / \mathbb{K}^*.I=PGL_2(\mathbb{K})$.

Définition - Proposition Etant donné une droite affine $ D$ (c'est-à-dire un espace affine de dimension $ 1$), on peut considérer sa droite projective complétée $ \widetilde D$, consistant en $ D \cup \{\infty\}$. Une abscisse $ m$ sur $ D$ se prolonge en une bijection de $ \widetilde D$ sur $ P^1(\mathbb{K})$, par $ m(\infty)=\infty$; cette application sera encore appelée abscisse, sur $ \widetilde D$.

On appelle homographie de $ \widetilde D$ sur $ \widetilde D'$ une application $ h$ de $ D$ sur $ D'$ telle qu'il existe des abscisses $ m$ et $ m'$ respectivement sur $ \widetilde D$ et $ \widetilde D'$ telles que $ h=m'^{-1}\circ H \circ m$, avec $ H$ une homographie de $ P^1(\mathbb{K})$.

Un composée d'homographies (quel que soit le contexte) est encore une homographie.

Une homographie est toujours bijective.

L'ensemble des homographies de $ \widetilde D$ sur lui-même forme un groupe pour $ \circ$, isomorphe à $ GP^1(\mathbb{K})$; on le note $ GP(\widetilde D)$, et on l'appelle groupe projectif de $ \widetilde D$.

Etant donnée $ E$ une droite affine munie d'un repère affine, donc d'une abscisse, on se donne $ 4$ points $ A$, $ B$, $ C$ et $ D$ distincts d'abscisses respectives $ a$, $ b$, $ c$ et $ d$. On appelle birapport de $ A$, $ B$, $ C$ et $ D$ et on note $ [A,B,C,D]=\frac{a-c}{a-d}.\frac{b-d}{b-c}$.

On a les propriétés suivantes du birapport:

$ \bullet\ $le birapport est indépendant de l'abscisse choisie.

$ \bullet\ $le birapport n'est pas indépendant de l'ordre.

$ \bullet\ $ $ [A,B,C,D]=[C,D,A,B]$

$ \bullet\ $ $ [A,B,C,D]=\frac 1 {[A,B,D,C]}= \frac 1 {[B,A,C,D]}$

$ \bullet\ $ $ [A,B,C,D]+[A,C,B,D]=1$

En constatant que le birapport avec $ 3$ points fixés est une homographie, on va la prolonger.

Ainsi, on prolonge le birapport au cas où l'un des points est $ \infty$, de la manière logique intuitivement, c'est-à-dire que les termes incluant $ \infty$ "se compensent". Ainsi on a par exemple

$\displaystyle [A,B,C,\infty]=\frac{a-c}{b-c}$

$\displaystyle [A,B,\infty,D]=\frac{b-d}{a-d}$

$\displaystyle [A,\infty,C,D]=\frac{a-c}{a-d}$

$\displaystyle [\infty,B,C,D]=\frac{b-d}{b-c}$

Ensuite, on prolonge le birapport au cas où deux points sont égaux:

$\displaystyle [A,A,C,D]=[A,B,C,C]=1$

$\displaystyle [A,B,A,D]=[A,B,C,B]=0$

$\displaystyle [A,B,C,A]=[A,B,B,D]=\infty$

Le birapport est invariant par homographie: $ \forall A,B,C,D \in P^1(\mathbb{K}), \forall f \in PGL_2(\mathbb{K}), [f(A),f(B),f(C),f(D)]=[A,B,C,D]$.

Définition - Proposition

Toute homographie de $ \widetilde D$, avec $ D$ une droite affine, s'exprime de manière unique sous la forme $ M \mapsto [M,A,B,C]$ pour un certain triplet $ (A,B,C)$ de points distincts de $ \widetilde D$. On appelle repère projectif de $ \widetilde D$ un triplet $ A,B,C$ de points distincts, et $ [M,A,B,C]$ est appelé coordonnée de $ M$ dans le repère projectif $ (A,B,C)$.

L'application qui à un point associe sa coordonnée dans un repère projectif est égale à composition par une homographie près à l'application qui à un point associe sa coordonnée dans un autre repère projectif.

Etant donnés deux triplets de points distincts $ (A,B,C)$ et $ (A',B',C')$ respectivement sur $ \widetilde D$ et $ \widetilde D'$ (deux droites projectives), il existe une et une seule homographie $ h$ de $ \widetilde D$ sur $ \widetilde D'$ telle que $ h(A)=A'$, $ h(B)=B'$ et $ h(C)=C'$.

Etant donnés deux quadruplets de points distincts $ (A,B,C,D)$ et $ (A',B',C',D')$ respectivement sur $ \tilde E$ et $ \tilde E'$ (deux droites projectives), il existe une homographie $ h$ de $ \tilde E$ sur $ \tilde E'$ telle que $ h(A)=A'$, $ h(B)=B'$, $ h(C)=C'$ et $ h(D)=D'$ si et seulement si $ [A,B,C,D]=[A',B',C',D']$.

Une bijection entre deux droites projectives est une homographie si et seulement si elle conserve le birapport.

Etant donné $ \widetilde D$ une droite projective, et $ d \in \widetilde D$, $ \widetilde D$ induit sur $ E=\widetilde D \setminus \{d\}$ une structure de droite affine; $ GA(E)$ est l'ensemble des applications induites sur $ E$ par des homographies de $ \widetilde D$ dont $ d$ est un point fixe (on en déduit donc que tous les points de $ \widetilde D$ jouent le même rôle, même $ \infty$).



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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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