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Visualisation

On considère le plan vectoriel $ \mathbb{K}^2$ muni de sa base canonique, et l'ensemble $ \widetilde D$ des droites vectorielles de $ \mathbb{K}^2$ (donc seulement les droites affines passant par l'origine).

On note $ \mathbb{D}$ la droite $ \mathbb{K}\times \{0\}$ et $ D$ l'ensemble $ \widetilde D\setminus \{\mathbb{D}\}$.

Etant donné $ d$ appartenant à $ \widetilde D$, on considère $ x(d)$ l'abscisse de son intersection avec la droite $ \mathbb{K}\times \{1\}$, et on pose $ x(\mathbb{D})=\infty$.

$ D$ est une droite affine pour l'application qui à deux droites $ d$ et $ d'$ associe $ \overrightarrow {dd'}=x(d')-x(d)$. $ \widetilde D$ en est une droite projective complétée. Une abscisse $ x'$ sur $ D$, qui est affine par rapport à $ d \mapsto x(d)$, se complète en une abscisse sur $ \widetilde D$ par $ x'(\Delta)=\Delta$.

On peut donc visualiser la droite projective $ P^1(\mathbb{K})$ comme l'ensemble des droites vectorielles du plan euclidien $ \mathbb{K}^2$.

On peut aussi considérer la droite projective complétée comme l'ensemble des points non nuls du plan $ \mathbb{K}^2$, en considérant des classes d'équivalence égales aux droites vectorielles privées de 0. L'image est sans doute d'autant plus visualisable, car l'homographie $ h(M)$ pour $ M \in GL_2(\mathbb{K})$ est alors la multiplication par $ M$ dans $ \mathbb{K}^2$ quotienté par la relation d'équivalence «être dans le même alignement avec 0».

En identifiant un point d'abscisse $ t$ dans un repère affine à la classe d'équivalence $ \mathbb{K}.(t,1)$ si $ t\neq \infty$ et à la classe d'équivalence $ \mathbb{K}.(1,0)$ sinon, on peut identifier toute droite projective complétée à l'ensemble des classes d'équivalence précédemment définies de $ \mathbb{K}^2 \setminus \{0\}$.

Ainsi une homographie dans une droite projective complétée est l'application quotiente d'une transformation linéaire dans $ \mathbb{K}^2$.

Il reste maintenant à passer aux espaces projectifs de dimension supérieure.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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