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La théorie

Définition

Etant donné $ E$ un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à $ E$ l'ensemble $ P(E)$ des droites vectorielles de $ E$. On note $ P^{n-1}(\mathbb{K})$ pour $ P(\mathbb{K}^n)$.

On appelle dimension de $ P(E)$ la dimension de $ E$ moins un.

Attention! Ne pas confondre avec l'ensemble des parties de $ E$ !

On appelle droite de $ P(E)$ l'image d'un plan vectoriel de $ E$, plan vectoriel de $ P(E)$ l'image d'un sous-espace vectoriel de $ E$ de dimension $ 3$, sous-espace projectif de $ P(E)$ de dimension $ q$ l'image d'un sous-espace vectoriel de $ E$ de dimension $ (q+1)$, hyperplan projectif de $ P(E)$ un hyperplan vectoriel de $ E$, sous-espace projectif de $ P(E)$ engendré par $ q$ points de $ P(E)$ (i.e. $ q$ droites de $ E$) l'image du sous-espace vectoriel de $ E$ engendré par les $ q$ droites correspondantes.

On note $ <P>$ le sous-espace projectif de $ P(E)$ engendré par une partie $ P$ incluse dans $ P(E)$.

On dit de $ q$ points de $ P(E)$ qu'ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans $ E$, c'est-à-dire s'ils engendrent un sous-espace projectif de $ P(E)$ de dimension $ (q-1)$.

On dit de $ n$ points $ x_1,...,x_n$ de $ P(E)$ qu'ils forment un repère projectif de $ P(E)$ si la dimension de $ P(E)$ est $ n-2$ et si toute sous-famille de $ n-1$ points des $ x_i$ est projectivement indépendante.

On dit de $ x$ dans $ P(E)$ qu'il a pour coordonnées homogènes $ (t_1,...,t_n)$ dans un certain repère projectif $ (d_0,d_1,...,d_n)$ si un certain $ y$ appartenant à $ x$ a pour coordonnées $ (t_1,...,t_n)$ dans une base $ (e_0,...,e_{n-1})$ avec $ e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i$ et $ d_i=<e_i>$ pour tout $ i \in [1,n]$.


Cette définition des espaces projectives coïncide avec celle des droites projectives donnée plus tôt.

Attention! Les coordonnées homogènes ne sont pas uniques, même dans un repère donné ! Par contre elles sont unique à multiplication par un scalaire non nul près. La preuve en sera plus facile après certaines autres propositions $ \to$ voir plus loin.

Proposition Etant donnés $ F$ et $ G$ deux sous-espaces projectifs d'un espace projectif $ P(E)$, on a

$\displaystyle dim\ F+dim\ G=dim\ <F\cup G> +dim\ F \cap G$


Définition [Sur les repères projectifs] - Proposition $ \bullet\ $Si $ (y_1,...,y_{n-1})$ est une base de $ E$, et si les $ x_i$ pour $ i \in [1,n]$ sont des éléments de $ P(E)$ avec $ y_i \in x_i$, et $ \sum_{i=1..n-1} y_i \in x_n$ (intuitivement $ x_n$ est au milieu des $ x_i$ pour $ i \in [1,n-1]$ - la division par $ n$ est superflue puisque l'on travaille dans $ P(E)$ à une constante multiplicative près), alors $ (x_1,...,x_n)$ est un repère projectif de $ P(E)$.

$ \bullet\ $Réciproquement, si $ (x_1,...,x_n)$ est un repère projectif de $ P(E)$, alors il existe $ (y_1,...,y_{n-1})$ une base de $ E$, avec $ y_i \in x_i$, et $ \sum_{i=1..n-1} y_i \in x_n$.

Pour bien voir ce que signifie ce résultat, il faut comprendre que n'importe quel repère projectif s'exprime donc comme l'image d'une base par la surjection canonique de $ E\setminus\{0\}$ sur son quotient PLUS l'image de la somme des éléments de cette base; et que n'importe lequel des éléments peut s'exprimer comme étant l'image de l'élément somme.

Une famille $ (y_i)_{i \in [1,n-1]}$ et une famille $ (x_i)_{i \in [1,n]}$ étant définies comme dans le deuxième point, la base $ (y_i)_{i \in [1,n-1]}$ et le repère projectif $ (x_i)_{i \in [1,n]}$ sont dits associés.


Démonstration:

Remarquons tout d'abord que pour que des droites $ x_i$ soient en somme directe, il faut et il suffit qu'une famille quelconque de $ y_i$ avec $ y_i$ engendrant $ x_i$ soit libre; dans ce cas, toute famille de $ y_i$ avec $ y_i$ engendrant $ x_i$ est libre.

Dans la suite j'assimile « $ y$ engendre $ x$ » à « $ y$ engendre la droite vectorielle engendrée par $ x$ », lorsque $ y$ est un point de $ E$ et $ x$ une droite vectorielle privée de 0.

$ \bullet\ $La famille $ x_1,...,x_{n-1}$ est clairement projectivement indépendante. Il reste à voir que n'importe quelle autre famille de $ (n-1)$ éléments est projectivement indépendante. Pour cela, on peut se contenter de la famille $ x_2,...,x_n$, puisque la situation est invariante par permutation des termes du vecteur1.1. On se donne alors $ y_1,...,y_n$ dans $ E$ engendrant respectivement $ x_1,...,x_n$. Si $ (y_1,...,y_{n-1})$ est une base de $ E$ et $ y_n=y_1+...+y_{n-1}$, alors la famille obtenue à partir de $ (y_1,...,y_{n-1})$ en remplaçant n'importe quel vecteur par $ y_n$ est de nouveau une base de $ E$, si bien que n'importe quelle famille de $ (n-1)$ éléments parmi $ x_1,...,x_n$ est projectivement indépendante: $ (x_1,...,x_n)$ est un rep`ere projectif de $ P(E)$.

$ \bullet\ $On se donne $ y_i'$ engendrant $ x_i$ dans $ E$. Par définition, les $ y_i'$ pour $ i \in [1,n-1]$ forment une famille libre de $ E$, donc une base de $ E$. Donc $ y_n'$ est combinaison linéaire des $ y_i'$ pour $ i \in [1,n-1]$. On écrit alors

$\displaystyle y_n'=\sum_{i\in [1,n-1]} {\lambda}_i.y_i'$

puis $ y_n=y_n'$ et $ y_i={\lambda}_i.y_i'$ pour $ i \in [1,n-1]$, et on a le résultat souhaité sous réserve que les $ {\lambda}_i$ soient non nuls.

$ \bullet\ $Les $ {\lambda}_i$ sont tous non nuls; en effet, dans le cas contraire, une sous-famille d'au plus $ n-1$ vecteurs parmi $ y_1',...,y_n'$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Coordonnées homogènes] Les coordonnées homogènes dans un repère donné sont uniques à multiplication par un scalaire non nul près.

Démonstration: $ \bullet\ $Les $ y_i$ donnés par le deuxième point de la proposition ci-dessus sont uniques à multiplication par un scalaire non nul près (comme on s'en convaincra en consultant la preuve ci-dessus).

$ \bullet\ $Les coordonnées homogènes sont donc uniques à multiplication par un scalaire non nul près.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Propriétés des espaces projectifs] $ \bullet\ $Dans un espace projectif, par deux points distincts passe une droite et une seule.

$ \bullet\ $Dans un espace projectif, l'intersection d'une droite et d'un hyperplan qui ne la contient pas est constituée d'un point et d'un seul.


Proposition [Propriétés des plans projectifs]

Dans un plan projectif:

$ \bullet\ $Deux droites distinctes se coupent en un point et un seul $ \to$ pas de droite sans point commun!


On a défini laborieusement les homographies dans une droite projective; on va maintenant les définir dans un espace projectif de dimension quelconque.

Définition [Homographies] Soit $ E$ et $ F$ des espaces vectoriels de même dimension finie, et $ f \in Isom(E,F)$. Alors $ f$ conservant l'alignement, on peut restreindre $ f$ à $ E$ privé de 0 et $ F$ privé de 0, on a encore une bijection; on peut alors considérer l'application quotient de $ f$; on obtient une bijection de $ P(E)$ sur $ P(F)$. Cette application est appelée homographie de $ P(E)$ sur $ P(F)$.

Une matrice associée à une homographie de $ P(E)$ dans $ P(F)$ dans des repères projectifs $ R$ et $ R'$ (de $ P(E)$ et $ P(F)$ respectivement) est la matrice dans des bases associées à $ R$ et $ R'$ d'un certain isomorphisme de $ E$ dans $ E'$ engendrant cette homographie. Un endomorphisme ayant pour matrice cette même matrice dans les mêmes bases est dit lui aussi associé à cette homographie.

Attention! Il n'y a pas unicité des matrices associées à une homographie! Ni des endomorphismes ! Il y a par contre unicité à multiplication par un scalaire près, comme on le vérifie dans la partie [*].

Proposition Soit $ R$ un repère projectif de $ P(E)$ et $ R'$ un repère projectif de $ P(E)$. Avec $ x \in P(E)$ et $ X$ un vecteur de coordonnées homogènes de $ x$ dans $ R$ et $ M$ une matrice associée à l'homographie $ H$ de $ P(E)$ dans $ P(F)$ pour les repères $ R$ et $ R'$, $ M.X$ est un vecteur de coordonnées homogènes de $ H(x)$ dans $ R'$.

Proposition La restriction d'une homographie à un sous-espace projectif est une homographie.

Etant donnés $ P(E)$ et $ P(F)$ deux espaces projectifs de même dimension et $ R_E$ et $ R_F$ des repères projectifs de $ P(E)$ et $ P(F)$ respectivement; alors il existe une unique homographie de $ P(E)$ sur $ P(F)$ par laquelle $ R_F$ soit l'image de $ R_E$.

Définition L'ensemble des homographies d'un espace projectif $ P(E)$ sur lui-même forme un groupe pour $ \circ$; on l'appelle groupe projectif de $ E$, et on le note $ PGL(E)$.

D'après la proposition précédente, $ PGL(E)$ agit simplement transitivement sur l'ensemble des repères projectifs de $ P(E)$. On trouvera plus d'informationsà [*].



Notes

... vecteur1.1
$ \sigma_n$ agit transitivement sur les paires de $ \{1,...,n\}$, donc, par passage au complémentaire, sur les paires de $ (n-1)$-uplets de $ \{1,...,n\}$

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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