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Sous-sections

La visualisation

On a introduit les espaces projectifs en considérant les classes d'équivalence d'un espace vectoriel de dimension finie privé de 0 pour la relation d'équivalence "appartenir à la même droite vectorielle". Certes cette représentation est elle-même bien imagée et intuitive. Toutefois il reste à fournir une représentation rappelant plus la géométrie affine.

J'assimile abusivement une droite vectorielle et la même droite privée de 0 dans la suite de ce paragraphe.

On se donne $ f$ une forme linéaire non nulle sur un espace vectoriel $ E$ de dimension finie. On considère l'hyperplan affine $ F=\{x/f(x)=1\}$, de direction $ \overrightarrow F$ avec $ \overrightarrow F=\{x/f(x)=0\}$. On considère alors l'ensemble $ X$ des éléments de $ P(E)$ qui intersectent $ F$; il est clair qu'il s'agit du complémentaire dans $ P(E)$ de $ P(\overrightarrow F)$. On peut en outre l'identifier à $ F$, par l'application qui à un élément de $ X$ associe son intersection avec $ F$.

L'ensemble des droites vectorielles contenues dans $ \overrightarrow F$ est un hyperplan projectif de $ P(E)$. L'application qui à une homographie $ h$ de $ P(E)$ laissant $ \overrightarrow F$ invariant associe l'application $ g$ de $ F$ dans $ F$ définie par $ g(x)=h(x)$ (rappelons que l'on a identifié $ X$ et $ F$) est un morphisme injectif de $ PGL(E)$ dans $ GA(F)$.

En outre pour toute droite affine $ D$ de $ F$, il existe un unique point $ D_\infty$ de $ \overrightarrow F$ tel que $ D \cup \{D_\infty\}$ soit une droite projective. On a $ D_\infty=D'_\infty$    si et seulement si $ D$    est parallèle à $ D'$. Enfin l'application qui à une droite de $ P(E)$ non contenue dans $ \overrightarrow F$ associe son intersection avec $ F$ est une bijection de l'ensemble des droites projectives de $ P(E)$ non contenues dans $ \overrightarrow F$ dans l'ensemble des droites affines de $ F$.

On peut donc voir $ P(E)$ comme un hyperplan de $ E$, muni en outre de points à l'infini complétant les droites, correspondant à la direction d'une droite (i.e. deux droites parallèles ont même direction); les droites contenues dans $ \overrightarrow F$ sont en fait les droites constituées uniquement de points à l'infini.

Enfin il faut bien noter que la notion de point à l'infini est relative; n'importe quel point de $ P(E)$ pourrait être un point à l'infini en choisissant $ F$ convenablement.

Pour le redire autrement, un espace projectif est un espace vectoriel, muni de points à l'infini pour compléter les droites; deux droites parallèles ont alors un point d'intersection à l'infini.

Définition Un hyperplan affine $ H$ de $ E$ ne passant pas par 0, identifié à l'ensemble des éléments de $ P(E)$ qui ne sont pas inclus dans $ \overrightarrow H$, comme précédemment, et complété par les points à l'infini correspondant à ses droites, est appelé complété projectif de $ H$.

Etant donné $ H$ un hyperplan affine de $ E$ ne passant pas par 0, $ \overrightarrow H$ est appelé l'hyperplan à l'infini du complété projectif de $ E$.

Pour y voir clair, une visualisation en petite dimension sera pratique.

$ \boxcircle$ En dimension $ 1$

Un espace projectif de dimension $ 1$ est une droite projective, c'est-à-dire une droite affine, avec en outre un point à l'infini. On peut aussi la voir comme un cercle où les points diamétralement opposés sont identifiés.

$ \boxcircle$ En dimension $ 2$

Un espace projectif de dimension $ 2$ est un plan projectif, c'est-à-dire un plan affine, avec en outre des points à l'infini. On peut se représenter cela par un plan, avec un cercle à l'infini; une droite peut être soit une droite du plan, avec en bonus les deux points du cercle correspondant à sa direction, soit l'unique droite constituée des points à l'infini.

On peut aussi le voir comme la sphère unité de $ \mathbb{R}^3$, en identifiant les points diamétralement opposés.

$ \boxcircle$ En dimension $ 3$

Un espace projectif de dimension $ 3$ peut se représenter comme un espace tridimensionnel classique, muni de points à l'infini (qu'on peut se représenter comme une sphère loin loin loin). Les droites en sont les droites usuelles (munies des deux points correspondant sur la sphère), plus les grands cercles (i.e. de diamètre maximal) de la loin-loin-lointaine sphère.

$ \boxcircle$ Le cas général

Un espace projectif de dimension $ n$ peut se représenter comme un espace affine de dimension $ n$, muni de points à l'infini correspondant aux directions des droites. C'est à dire que les points à l'infini sont un espace projectif de dimension $ (n-1)$.

Il est très important de noter que, comme le laisse comprendre la méthode imagée de voir tout ça, n'importe quel hyperplan peut être considéré comme l'hyperplan à l'infini.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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