On a introduit les espaces projectifs en considérant les classes d'équivalence d'un espace vectoriel de dimension finie privé de 0 pour la relation d'équivalence "appartenir à la même droite vectorielle". Certes cette représentation est elle-même bien imagée et intuitive. Toutefois il reste à fournir une représentation rappelant plus la géométrie affine.
J'assimile abusivement une droite vectorielle et la même droite privée de 0 dans la suite de ce paragraphe.
On se donne une forme linéaire non nulle sur un espace vectoriel de dimension finie. On considère l'hyperplan affine
, de direction
avec
. On considère alors l'ensemble des éléments de qui intersectent ; il est clair qu'il s'agit du complémentaire dans de
. On peut en outre l'identifier à , par l'application qui à un élément de associe son intersection avec .
L'ensemble des droites vectorielles contenues dans
est un hyperplan projectif de . L'application qui à une homographie de laissant
invariant associe l'application de dans définie par (rappelons que l'on a identifié et ) est un morphisme injectif de dans .
En outre pour toute droite affine de , il existe un unique point de
tel que
soit une droite projective. On a
si et seulement si est parallèle à . Enfin l'application qui à une droite de non contenue dans
associe son intersection avec est une bijection de l'ensemble des droites projectives de non contenues dans
dans l'ensemble des droites affines de .
On peut donc voir comme un hyperplan de , muni en outre de points à l'infini complétant les droites, correspondant à la direction d'une droite (i.e. deux droites parallèles ont même direction); les droites contenues dans
sont en fait les droites constituées uniquement de points à l'infini.
Enfin il faut bien noter que la notion de point à l'infini est relative; n'importe quel point de pourrait être un point à l'infini en choisissant convenablement.
Pour le redire autrement, un espace projectif est un espace vectoriel, muni de points à l'infini pour compléter les droites; deux droites parallèles ont alors un point d'intersection à l'infini.
Définition
Un hyperplan affine de ne passant pas par 0, identifié à l'ensemble des éléments de qui ne sont pas inclus dans
, comme précédemment, et complété par les points à l'infini correspondant à ses droites, est appelé complété projectif de .
Etant donné un hyperplan affine de ne passant pas par 0,
est appelé l'hyperplan à l'infini du complété projectif de .
Pour y voir clair, une visualisation en petite dimension sera pratique.
Un espace projectif de dimension est une droite projective, c'est-à-dire une droite affine, avec en outre un point à l'infini. On peut aussi la voir comme un cercle où les points diamétralement opposés sont identifiés.
Un espace projectif de dimension est un plan projectif, c'est-à-dire un plan affine, avec en outre des points à l'infini. On peut se représenter cela par un plan, avec un cercle à l'infini; une droite peut être soit une droite du plan, avec en bonus les deux points du cercle correspondant à sa direction, soit l'unique droite constituée des points à l'infini.
On peut aussi le voir comme la sphère unité de
, en identifiant les points diamétralement opposés.
Un espace projectif de dimension peut se représenter comme un espace tridimensionnel classique, muni de points à l'infini (qu'on peut se représenter comme une sphère loin loin loin). Les droites en sont les droites usuelles (munies des deux points correspondant sur la sphère), plus les grands cercles (i.e. de diamètre maximal) de la loin-loin-lointaine sphère.
Un espace projectif de dimension peut se représenter comme un espace affine de dimension , muni de points à l'infini correspondant aux directions des droites. C'est à dire que les points à l'infini sont un espace projectif de dimension .
Il est très important de noter que, comme le laisse comprendre la méthode imagée de voir tout ça, n'importe quel hyperplan peut être considéré comme l'hyperplan à l'infini.
En dimension 
une forme linéaire non nulle sur un espace vectoriel 
de dimension finie. On considère l'hyperplan affine
, de direction
avec
. On considère alors l'ensemble 
des éléments de 
qui intersectent 
; il est clair qu'il s'agit du complémentaire dans 
. On peut en outre l'identifier à 
de 
de 
(rappelons que l'on a identifié 
dans 
.
de 
de
soit une droite projective. On a
si et seulement si 
. Enfin l'application qui à une droite de 
de 
, comme précédemment, et complété par les points à l'infini correspondant à ses droites, est appelé complété projectif de 
, en identifiant les points diamétralement opposés.
peut se représenter comme un espace affine de dimension 
.
