Topologie des espaces projectifs réels ou complexes
Théorème [Compacité des espaces projectifs]
Soit un espace vectoriel normé, muni de la topologie liée à sa norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie); alors
l'espace projectif est compact pour la topologie quotient.
Démonstration:
On considère la sphère unité de . Cette sphère contient exactement deux points de chaque droite vectorielle de ; l'image de la sphère unité par la projection est donc exactement . est donc l'image d'un compact par une application continue, et donc est compact sous réserve que soit séparé (voir théorème ). Il suffit donc pour conclure de vérifier que est séparé.
On se donne deux droites vectorielles et distinctes de ; on considère deux couples de points , et , de , avec
et
( désigne la sphère unité).
Il existe quatre ouverts , , et de disjoints, avec , , et .
On considère alors l'intersection des projections de et d'une part, et l'intersection des projections de et d'autre part (rappelons que la projection canonique sur un ensemble quotient est ouverte lorsque les classes d'équivalence sont les orbites pour une action d'un groupe sur un espace topologique par homéomorphismes, voir proposition; on obtient ainsi deux ouverts distincts séparant nos deux droites.
Théorème [Connexité par arcs des espaces projectifs de dimension ]
Un espace projectif de dimension est connexe par arcs.
Démonstration:Rappelons juste que l'image d'un espace connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs...
On peut noter que le résultat est vrai aussi pour l'espace projectif de dimension 0 (réduit à un singleton) bien que
ne soit pas connexe.
un espace vectoriel normé, muni de la topologie liée à sa norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie
est compact
On considère la sphère unité de ![[*]](/images/crossref.png)
et 
distinctes de 
, 
et 
,
de 
et
(
désigne la sphère unité).
, 
, 
et 
de 
, 
, 
et 
.
]
ne soit pas connexe.
