Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
186 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Topologie des espaces projectifs réels ou complexes next up previous index
suivant: Index monter: Espaces projectifs précédent: Liste de résultats de   Index


Topologie des espaces projectifs réels ou complexes

Théorème [Compacité des espaces projectifs]

Soit $ E$ un espace vectoriel normé, muni de la topologie liée à sa norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie); alors l'espace projectif $ P(E)$ est compact pour la topologie quotient.


Démonstration:

$ \bullet\ $On considère la sphère unité de $ E$. Cette sphère contient exactement deux points de chaque droite vectorielle de $ E$; l'image de la sphère unité par la projection est donc exactement $ P(E)$. $ P(E)$ est donc l'image d'un compact par une application continue, et donc est compact sous réserve que $ P(E)$ soit séparé (voir théorème [*]). Il suffit donc pour conclure de vérifier que $ P(E)$ est séparé.

$ \bullet\ $On se donne deux droites vectorielles $ D$ et $ D'$ distinctes de $ E$; on considère deux couples de points $ x$, $ y$ et $ x'$,$ y'$ de $ E$, avec $ \{x,y\} = D \cap S$ et $ \{x',y'\} = D' \cap S$ ($ S$ désigne la sphère unité).

$ \bullet\ $Il existe quatre ouverts $ X$, $ X'$, $ Y$ et $ Y'$ de $ S$ disjoints, avec $ x \in X$, $ y \in Y$, $ x' \in X'$ et $ y' \in Y'$.

$ \bullet\ $On considère alors l'intersection des projections de $ X$ et $ Y$ d'une part, et l'intersection des projections de $ X'$ et $ Y'$ d'autre part (rappelons que la projection canonique sur un ensemble quotient est ouverte lorsque les classes d'équivalence sont les orbites pour une action d'un groupe sur un espace topologique par homéomorphismes, voir proposition[*]; on obtient ainsi deux ouverts distincts séparant nos deux droites.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Connexité par arcs des espaces projectifs de dimension $ \geq 1$] Un espace projectif de dimension $ \geq 1$ est connexe par arcs.

Démonstration: Rappelons juste que l'image d'un espace connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs...$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut noter que le résultat est vrai aussi pour l'espace projectif de dimension 0 (réduit à un singleton) bien que $ \mathbb{R}\setminus \{0\}$ ne soit pas connexe.


next up previous index
suivant: Index monter: Espaces projectifs précédent: Liste de résultats de   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page