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Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge

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Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge

Cette partie est, elle aussi, fortement inspirée du livre de Hahn "Complex Numbers and Geometry".

Le cercle des neuf points

**Figure:** Schéma préparatoire au cercle des neuf points
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =9cm \epsfbox{neuf.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Théorème Soit un triangle, le centre du cercle circonscrit, le barycentre de , et , et l'intersection des hauteurs.

Alors:
$\bullet\$ sont alignés.
$\bullet\$ Les pieds des hauteurs, les milieux des côtés et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle.

Démonstration: On choisit pour origine du plan complexe.

On note $\alpha ,\beta ,\gamma$ les affixes respectives de . On note ${\cal C}$ le cercle circonscrit.

Soit le point d'affixe $\theta=\alpha +\beta +\gamma$ . Comme $\frac{\sigma -\alpha }2=\frac{\beta +\gamma }2$ , on a $\overrightarrow {AH}=2\overrightarrow {OD}$ , où est le milieu de . En particulier, comme est la médiatrice de , on a et orthogonales.

On peut raisonner de même pour obtenir $BH \bot AC$ et $CH \bot AB$ ; on retrouve ainsi le fait que les hauteurs sont concourantes en . Comme a pour affixe $\frac13 (\alpha +\beta +\gamma )$ , les points , et sont alignés.

Soit d'affixe $\sigma /2$ ; est le milieu de .
$WD=\vert\frac{\beta +\gamma }2 - \frac\sigma 2\vert=\vert\alpha \vert/2=\frac12$
De même $WE=WF=\frac12$ avec et les milieux respectifs de et .
La distance de au milieu de est elle aussi $\frac12$ , et de même pour les autres.
On note ${\Lambda}$ l'affixe du pied de la hauteur issue de .
Pour situer ${\Lambda}$ on va d'abord s'intéresser à $\alpha '$ , l'intersection de $\alpha {\Lambda}$ avec ${\cal C}$ . On va montrer que $B\alpha '\sigma$ est isocèle.

$\overrightarrow {A\alpha '} \bot \overrightarrow {BC}$ donne $\frac{\alpha ' - \alpha }{\gamma - \beta } \in i.\mathbb{R}$ .

Lemme: On a $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }{\alpha }$ .

Démonstration: Comme le quotient $\frac{\beta \gamma }{\alpha \alpha '}$ est invariant par rotation, on peut supposer que $\overrightarrow {A\alpha '}$ est vertical et $\overrightarrow {BC}$ horizontal, de sorte que $\alpha \alpha '=1$ et $\beta \gamma =-1$ , si bien que ce quotient vaut et $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }\alpha$ dans tous les cas. $\sqcap$ $\sqcup$

On obtient donc par le lemme ci-dessus $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }\alpha$ . On montre ensuite facilement que $\vert B-\alpha '\vert=\vert B-\sigma \vert$ , donc le triangle $B\alpha '\sigma$ est isocèle. Le pied $\lambda$ de la hauteur issue de est en fait aussi le milieu de $[\alpha ' \sigma ]$ .

On en déduit alors que $\vert{\Lambda}-\sigma /2\vert=1/2$ . On ferait de même pour les pieds des autres hauteurs. Finalement $\sigma /2$ est le centre d'un cercle de rayon comportant les pieds des trois hauteurs, les milieux des trois côtés, et les milieux des segments joignants l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle. $\sqcap$ $\sqcup$

Enfin, voici un résultat dû à Coolidge:

$\bullet\$ Soit ,..., sur le cercle unité. Le centre du cercle d'Euler de est $\tau _1=\frac12 (z_2+z_3+z_4)$ ; $\tau _2$ , $\tau _3$ , $\tau _4$ sont définis de manière analogue. On définit en outre $\tau =\frac14(z_1+z_2+z_3+z_4)$ ; alors pour tout , $\tau _i$ est sur le cercle de centre $\tau$ et de rayon $\frac12$ ; ce cercle est appelé cercle d'Euler du quadrilatère ,,,.
$\bullet\$ On peut faire la même chose avec 5 points; on définit 5 cercles d'Euler de 5 quadrilatères, et un cercle d'Euler pour le pentagone.
$\bullet\$ On peut procéder de même avec un polygone quelconque.