A lire

Deug/Prépa

Licence

Agrégation
A télécharger

Télécharger

200 personne(s) sur le site en ce moment

E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire

Articles

Math/Infos

Récréation
A télécharger

Télécharger

Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge

suivant: Index monter: Zoologie de la géométrie précédent: La droite de Simson Index

Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge

Cette partie est, elle aussi, fortement inspirée du livre de Hahn "Complex Numbers and Geometry".

Le cercle des neuf points

**Figure:** Schéma préparatoire au cercle des neuf points
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =9cm \epsfbox{neuf.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Théorème Soit un triangle, le centre du cercle circonscrit, le barycentre de , et , et l'intersection des hauteurs.

Alors:
$\bullet\$ sont alignés.
$\bullet\$ Les pieds des hauteurs, les milieux des côtés et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle.

Démonstration: On choisit pour origine du plan complexe.

On note $\alpha ,\beta ,\gamma$ les affixes respectives de . On note ${\cal C}$ le cercle circonscrit.

Soit le point d'affixe $\theta=\alpha +\beta +\gamma$ . Comme $\frac{\sigma -\alpha }2=\frac{\beta +\gamma }2$ , on a $\overrightarrow {AH}=2\overrightarrow {OD}$ , où est le milieu de . En particulier, comme est la médiatrice de , on a et orthogonales.

On peut raisonner de même pour obtenir $BH \bot AC$ et $CH \bot AB$ ; on retrouve ainsi le fait que les hauteurs sont concourantes en . Comme a pour affixe $\frac13 (\alpha +\beta +\gamma )$ , les points , et sont alignés.

Soit d'affixe $\sigma /2$ ; est le milieu de .
$WD=\vert\frac{\beta +\gamma }2 - \frac\sigma 2\vert=\vert\alpha \vert/2=\frac12$
De même $WE=WF=\frac12$ avec et les milieux respectifs de et .
La distance de au milieu de est elle aussi $\frac12$ , et de même pour les autres.
On note ${\Lambda}$ l'affixe du pied de la hauteur issue de .
Pour situer ${\Lambda}$ on va d'abord s'intéresser à $\alpha '$ , l'intersection de $\alpha {\Lambda}$ avec ${\cal C}$ . On va montrer que $B\alpha '\sigma$ est isocèle.

$\overrightarrow {A\alpha '} \bot \overrightarrow {BC}$ donne $\frac{\alpha ' - \alpha }{\gamma - \beta } \in i.\mathbb{R}$ .

Lemme: On a $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }{\alpha }$ .

Démonstration: Comme le quotient $\frac{\beta \gamma }{\alpha \alpha '}$ est invariant par rotation, on peut supposer que $\overrightarrow {A\alpha '}$ est vertical et $\overrightarrow {BC}$ horizontal, de sorte que $\alpha \alpha '=1$ et $\beta \gamma =-1$ , si bien que ce quotient vaut et $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }\alpha$ dans tous les cas. $\sqcap$ $\sqcup$

On obtient donc par le lemme ci-dessus $\alpha '=-\frac{\beta \gamma }\alpha$ . On montre ensuite facilement que $\vert B-\alpha '\vert=\vert B-\sigma \vert$ , donc le triangle $B\alpha '\sigma$ est isocèle. Le pied $\lambda$ de la hauteur issue de est en fait aussi le milieu de $[\alpha ' \sigma ]$ .

On en déduit alors que $\vert{\Lambda}-\sigma /2\vert=1/2$ . On ferait de même pour les pieds des autres hauteurs. Finalement $\sigma /2$ est le centre d'un cercle de rayon comportant les pieds des trois hauteurs, les milieux des trois côtés, et les milieux des segments joignants l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle. $\sqcap$ $\sqcup$

Enfin, voici un résultat dû à Coolidge:

$\bullet\$ Soit ,..., sur le cercle unité. Le centre du cercle d'Euler de est $\tau _1=\frac12 (z_2+z_3+z_4)$ ; $\tau _2$ , $\tau _3$ , $\tau _4$ sont définis de manière analogue. On définit en outre $\tau =\frac14(z_1+z_2+z_3+z_4)$ ; alors pour tout , $\tau _i$ est sur le cercle de centre $\tau$ et de rayon $\frac12$ ; ce cercle est appelé cercle d'Euler du quadrilatère ,,,.
$\bullet\$ On peut faire la même chose avec 5 points; on définit 5 cercles d'Euler de 5 quadrilatères, et un cercle d'Euler pour le pentagone.
$\bullet\$ On peut procéder de même avec un polygone quelconque.