Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge
Cette partie est, elle aussi, fortement inspirée du livre de Hahn "Complex Numbers and Geometry".
Le cercle des neuf points
Figure:
Schéma préparatoire au cercle des neuf points
Théorème
Soit un triangle, le centre du cercle circonscrit, le barycentre de , et , et l'intersection des hauteurs.
Alors:
sont alignés.
Les pieds des hauteurs, les milieux des côtés et les milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle.
Démonstration:On choisit pour origine du plan complexe.
On note
les affixes respectives de .
On note le cercle circonscrit.
Soit le point d'affixe
. Comme
, on a
, où est le milieu de . En particulier, comme est la médiatrice de , on a et orthogonales.
On peut raisonner de même pour obtenir
et
; on retrouve ainsi le fait que les hauteurs sont concourantes en . Comme a pour affixe
, les points , et sont alignés.
Soit d'affixe ; est le milieu de .
De même
avec et les milieux respectifs de
et .
La distance de au milieu de est elle aussi , et de même pour les autres.
On note l'affixe du pied de la hauteur issue de .
Pour situer on va d'abord s'intéresser à , l'intersection de
avec . On va montrer que
est isocèle.
donne
.
Lemme:
On a
.
Démonstration:
Comme le quotient
est invariant par rotation, on peut supposer que
est vertical et
horizontal, de sorte que
et
, si bien que ce quotient vaut et
dans tous les cas.
On obtient donc par le lemme ci-dessus
. On montre ensuite facilement que
, donc le triangle
est isocèle. Le pied de la hauteur issue de est en fait aussi le milieu de
.
On en déduit alors que
. On ferait de même pour les pieds des autres hauteurs. Finalement est le centre d'un cercle de rayon comportant les pieds des trois hauteurs, les milieux des trois côtés, et les milieux des segments joignants l'orthocentre aux sommets , et sont tous sur un même cercle.
Enfin, voici un résultat dû à Coolidge:
Soit ,..., sur le cercle unité. Le centre du cercle d'Euler de
est
; , , sont définis de manière analogue. On définit en outre
; alors pour tout , est sur le cercle de centre et de rayon ; ce cercle est appelé cercle d'Euler du quadrilatère ,,,.
On peut faire la même chose avec 5 points; on définit 5 cercles d'Euler de 5 quadrilatères, et un cercle d'Euler pour le pentagone.
On peut procéder de même avec un polygone quelconque.
Pour plus de précisions, on pourra consulter le livre de Hahn cité ci-dessus.