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La dualité

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La dualité

$\boxcircle$ Quelques rappels, pour ceux qui ont oublié l'algèbre linéaire

On considère un espace vectoriel

de dimension finie. On note, classiquement,

son dual

(i.e. l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur

, c'est-à-dire, puisque

est de dimension finie, l'espace vectoriel des formes linéaires sur

Etant donné un sous-espace vectoriel de , on note l'ensemble des formes linéaires nulles sur tout . Il est clair que un sous-espace vectoriel de (voir la partie sur l'algèbre linéaire). On a $dim\ F+dim\ F'=dim\ E$ , et $dim\ E^*=dim\ E$ .

Il est fondamental de rappeler que $F \subset G$ dans équivaut à $G' \subset F'$ dans .

$\boxcircle$ Le rapport avec la géométrie projective

Notons maintenant bien ce qu'il se passe, lorsque l'on identifie à :

On suppose que est de dimension , et on note la surjection canonique de dans .

L'important dans le tableau ci-dessous est la seconde et la quatrième colonne; les autres colonnes sont là pour la compréhension.

dans	dans	dans	dans
$dim\ E=n$	$dim\ P(E)=n-1$	$dim\ E^*=n$	$dim\ P(E^*)=n-1$

$dim\ F=f$	$dim\ p(F)=f-1$	$dim\ F'=n-f$	$dim\ p(F')=n-f-1$
droite	point	hyperplan	hyperplan
		(vectoriel)	(projectif)
hyperplan	hyperplan	droite	point
(vectoriel)	(projectif)

On peut aller plus loin, en traduisant cette fois-ci les relations d'inclusion et d'intersection. Je note par la suite par des lettres les éléments de , et par les mêmes lettres munies d'un leurs images dans .

dans	dans
$A \subset B$	$B'\subset A'$
$A \in B$	$B' \in A'$

On peut ensuite spécialiser à la dimension : les lettres majuscules désignent des droites, les lettres minuscules des points; la même lettre désigne un élément et son dual; on ne fait que passer de minuscule à majuscule, et réciproquement.

dans	dans
(un point)	une droite
$a=B \cap C$
concourantes	alignés
Triangle de côtés	Triangle de sommets
, et	, et

Pourquoi utiliser cela en géométrie projective au lieu de l'utiliser simplement en géométrie affine ?

$\to$ par deux points passe toujours une droite... il est donc souhaitable que deux droites se croisent toujours en un point pour avoir une analogie complète!