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La dualité

$ \boxcircle$ Quelques rappels, pour ceux qui ont oublié l'algèbre linéaire

On considère un espace vectoriel $ E$ de dimension finie. On note, classiquement, $ E^*$ son dual (i.e. l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur $ E$, c'est-à-dire, puisque $ E$ est de dimension finie, l'espace vectoriel des formes linéaires sur $ E$).

Etant donné $ F$ un sous-espace vectoriel de $ E$, on note $ F'$ l'ensemble des formes linéaires nulles sur tout $ F$. Il est clair que $ F'$ un sous-espace vectoriel de $ E^*$ (voir la partie sur l'algèbre linéaire). On a $ dim\ F+dim\ F'=dim\ E$, et $ dim\ E^*=dim\ E$.

Il est fondamental de rappeler que $ F \subset G$ dans $ E$ équivaut à $ G' \subset F'$ dans $ E^*$.

$ \boxcircle$ Le rapport avec la géométrie projective

Notons maintenant bien ce qu'il se passe, lorsque l'on identifie $ E$ à $ E^*$:

On suppose que $ E$ est de dimension $ n$, et on note $ p$ la surjection canonique de $ E$ dans $ P(E)$.

L'important dans le tableau ci-dessous est la seconde et la quatrième colonne; les autres colonnes sont là pour la compréhension.

dans $ E$ dans $ P(E)$ dans $ E^*$ dans $ P(E^*)$
$ dim\ E=n$ $ dim\ P(E)=n-1$ $ dim\ E^*=n$ $ dim\ P(E^*)=n-1$

$ F$

$ p(F)$ $ F'$ $ p(F')$
$ dim\ F=f$ $ dim\ p(F)=f-1$ $ dim\ F'=n-f$ $ dim\ p(F')=n-f-1$

droite

point hyperplan hyperplan
    (vectoriel) (projectif)

hyperplan

hyperplan droite point
(vectoriel) (projectif)    

On peut aller plus loin, en traduisant cette fois-ci les relations d'inclusion et d'intersection. Je note par la suite par des lettres les éléments de $ P(E)$, et par les mêmes lettres munies d'un $ '$ leurs images dans $ P(E^*)$.

dans $ P(E)$ dans $ P(E^*)$

$ A \subset B$

$ B'\subset A'$

$ A \in B$

$ B' \in A'$

On peut ensuite spécialiser à la dimension $ 2$: les lettres majuscules désignent des droites, les lettres minuscules des points; la même lettre désigne un élément et son dual; on ne fait que passer de minuscule à majuscule, et réciproquement.

dans $ P(E)$ dans $ P(E^*)$

$ a$ (un point)

$ A$ une droite

$ a=B \cap C$

$ A=(bc)$

$ A,B,C$ concourantes

$ a,b,c$ alignés

Triangle de côtés

Triangle de sommets
$ A$, $ B$ et $ C$ $ a$, $ b$ et $ c$

Attention! Pourquoi utiliser cela en géométrie projective au lieu de l'utiliser simplement en géométrie affine ?

$ \to$ par deux points passe toujours une droite... il est donc souhaitable que deux droites se croisent toujours en un point pour avoir une analogie complète!

Application(s)... On verra une application fort sympathique avec le théorème de Desargues [*].



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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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