On considère un espace vectoriel de dimension finie. On note, classiquement, son dual (i.e. l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur , c'est-à-dire, puisque est de dimension finie, l'espace vectoriel des formes linéaires sur ).
Etant donné un sous-espace vectoriel de , on note l'ensemble des formes linéaires nulles sur tout . Il est clair que un sous-espace vectoriel de (voir la partie sur l'algèbre linéaire). On a
, et
.
Il est fondamental de rappeler que
dans équivaut à
dans .
Notons maintenant bien ce qu'il se passe, lorsque l'on identifie à :
On suppose que est de dimension , et on note la surjection canonique de dans .
L'important dans le tableau ci-dessous est la seconde et la quatrième colonne; les autres colonnes sont là pour la compréhension.
dans
dans
dans
dans
droite
point
hyperplan
hyperplan
(vectoriel)
(projectif)
hyperplan
hyperplan
droite
point
(vectoriel)
(projectif)
On peut aller plus loin, en traduisant cette fois-ci les relations d'inclusion
et d'intersection. Je note par la suite par des lettres les éléments de , et par les mêmes lettres munies d'un leurs images dans .
dans
dans
On peut ensuite spécialiser à la dimension : les lettres majuscules désignent des droites, les lettres minuscules des points; la même lettre désigne un élément et son dual; on ne fait que passer de minuscule à majuscule, et réciproquement.
dans
dans
(un point)
une droite
concourantes
alignés
Triangle de côtés
Triangle de sommets
, et
, et
Pourquoi utiliser cela en géométrie projective au lieu de l'utiliser simplement en géométrie affine ?
par deux points passe toujours une droite... il est donc souhaitable que deux droites se croisent toujours en un point pour avoir une analogie complète!
On verra une application fort sympathique avec le théorème de Desargues .