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Théorème de Pappus

$ \boxcircle$ En géométrie affine

Théorème [Pappus] Soient $ D$ et $ D'$ deux droites du plan, distinctes.

Soient $ A$, $ B$ et $ C$ trois points de $ D$, et $ A'$, $ B'$ et $ C'$ trois points de $ D'$.

Si $ AB'$ est parallèle à $ BA'$,

et si $ CB'$ est parallèle à $ BC'$,

alors $ AC'$ est parallèle à $ CA'$,

Démonstration:

$ \bullet\ $Supposons que $ D$ et $ D'$ ne soient PAS parallèles. Alors on considère $ O$ leur point d'intersection.

$ \bullet\ $On oriente les deux droites $ D$ et $ D'$, et on constate que $ \frac{\overline {OB}}{\overline {OA}}=\frac{\overline {OA'}}{\overline {OB'}}$ et que $ \frac{\overline {OC}}{\overline {OB}}=\frac{\overline {OB'}}{\overline {OC'}}$ (par la réciproque du théorème de Thalès).

$ \bullet\ $On en déduit que $ \frac{\overline {OA}}{\overline {OC}}=\frac{\overline {OC'}}{\overline {OA'}}$, ce qui par Thalès nous donne bien le résultat souhaité.

NB: il est possible de raisonner sur des homothéties pour se débarasser des cas particuliers OC=0, etc. Il suffit de remplacer « $ \frac{\overline {OB}}{\overline {OA}}=\frac{\overline {OA'}}{\overline {OB'}}$» par «il existe une homothétie $ h$ centrée sur $ O$ telle que $ h(A)=B$ et $ h(B')=A'$».

$ \bullet\ $Le cas $ D$ et $ D'$ parallèles n'est pas plus difficile, on utilise des translations pour exprimer les parallélismes...$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ En géométrie projective


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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