Théorème [Pappus]
Soient et deux droites du plan, distinctes.
Soient , et trois points de , et , et
trois points de .
Si est parallèle à ,
et si est parallèle à ,
alors est parallèle à ,
Démonstration:
Supposons que et ne soient PAS parallèles. Alors on considère
leur point d'intersection.
On oriente les deux droites et , et on constate
que
et que
(par la réciproque du théorème de Thalès).
On en déduit que
,
ce qui par Thalès nous donne bien le résultat souhaité.
NB: il est possible de raisonner sur des homothéties pour se débarasser des cas particuliers OC=0, etc. Il suffit de remplacer «
» par «il existe une homothétie centrée sur telle que et ».
Le cas et parallèles n'est pas plus difficile, on utilise des translations pour exprimer les parallélismes...