Théorème [Pappus]
Soient et deux droites du plan, distinctes.
Soient , et trois points de , et , et
trois points de .
Si est parallèle à ,
et si est parallèle à ,
alors est parallèle à ,
Démonstration:
Supposons que et ne soient PAS parallèles. Alors on considère
leur point d'intersection.
On oriente les deux droites et , et on constate
que
et que
(par la réciproque du théorème de Thalès).
On en déduit que
,
ce qui par Thalès nous donne bien le résultat souhaité.
NB: il est possible de raisonner sur des homothéties pour se débarasser des cas particuliers OC=0, etc. Il suffit de remplacer «
» par «il existe une homothétie centrée sur telle que et ».
Le cas et parallèles n'est pas plus difficile, on utilise des translations pour exprimer les parallélismes...
En géométrie affine
et 
deux droites du plan, distinctes.
, 
et 
trois points de 
, 
et 
trois points de 
est parallèle à 
,
est parallèle à 
,
est parallèle à 
,
Supposons que 
leur point d'intersection.
et que
(par la réciproque du théorème de Thalès).
,
ce qui par Thalès nous donne bien le résultat souhaité.
centrée sur 
et 
».
