Théorème [Théorème de Desargues]
On se donne et deux triangles sans sommet commun et à côtés
respectivement parallèles 1.1. Alors , et sont concourantes ou parallèles.
Démonstration:
Premier cas: et ne sont pas parallèles.
Alors elles se coupent en un point, disons .
On considère alors le point de tel
que
Par la réciproque du théorème de Thalès, et sont parallèles,
et et sont parallèles.
est donc à la fois sur et sur ,
et donc . On en déduit le résultat demandé.
NB: là aussi on peut raisonner via des homothéties.
Second cas: et sont parallèles.
Alors
, et on construit
tel que
; on a alors magiquement
, et donc est parallèle
à et est parallèle à ; donc .
Il y a une réciproque au théorème de Desargues; voir paragraphe suivant...
Théorème [Théorème de Desargues]
On se donne et deux triangles d'un plan projectif.
On note , et les points d'intersection respectifs de et
, et , et . Alors , et sont alignés
si et seulement si , et sont concourantes.
NB: Notez bien qu'il s'agit d'une généralisation du théorème précédent! Deux
droites parallèles en géométrie affine se croisent à l'infini dans leur complété projectif.
Démonstration:
Supposons tout d'abord , et alignés. Ils déterminent donc
une droite. On peut supposer que cette droite est la droite à l'infini, puisque,
comme on l'a déjà dit, n'importe quelle droite (ou hyperplan dans le cas général) peut être considérée comme droite (ou, donc, hyperplan dans le cas général) à l'infini.
On peut alors appliquer le théorème .
Il nous reste maintenant à montrer la réciproque.
Pour cela on va utiliser la dualité... En fait, il n'y a tout simplement rien à faire, car l'énoncé dual du théorème de Desargues, dans le sens où on l'a montré est précisément sa réciproque.