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Sous-sections

Théorème de Desargues

$ \boxcircle$ En géométrie affine

Théorème [Théorème de Desargues] On se donne $ ABC$ et $ A'B'C'$ deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles 1.1. Alors $ AA'$, $ BB'$ et $ CC'$ sont concourantes ou parallèles.

Démonstration:

$ \bullet\ $Premier cas: $ AA'$ et $ BB'$ ne sont pas parallèles.

Alors elles se coupent en un point, disons $ O$.

$\displaystyle \frac{\overline {OA'}}{\overline {OA}}=\frac{\overline {OB'}}{\overline {OB}}$

On considère alors le point $ M$ de $ OC$ tel que

$\displaystyle \frac{\overline {OA'}}{\overline {OA}}=\frac{\overline {OM}}{\overline {OC}}$

Par la réciproque du théorème de Thalès, $ AC$ et $ A'M$ sont parallèles, et $ BC$ et $ B'M$ sont parallèles.

$ M$ est donc à la fois sur $ B'C'$ et sur $ A'C'$, et donc $ M=C'$. On en déduit le résultat demandé.

NB: là aussi on peut raisonner via des homothéties.

$ \bullet\ $Second cas: $ AA'$ et $ BB'$ sont parallèles.

Alors $ \overrightarrow {AA'}=\overrightarrow {BB'}$, et on construit $ M$ tel que $ \overrightarrow {CM}=\overrightarrow {AA'}$; on a alors magiquement $ \overrightarrow {CM}=\overrightarrow {BB'}$, et donc $ A'M$ est parallèle à $ AC$ et $ B'M$ est parallèle à $ BC$; donc $ M=C'$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Il y a une réciproque au théorème de Desargues; voir paragraphe suivant...

$ \boxcircle$ En géométrie projective

Théorème [Théorème de Desargues] On se donne $ ABC$ et $ A'B'C'$ deux triangles d'un plan projectif. On note $ a$, $ b$ et $ c$ les points d'intersection respectifs de $ BC$ et $ B'C'$, $ AC$ et $ A'C'$, $ AB$ et $ A'B'$. Alors $ a$, $ b$ et $ c$ sont alignés si et seulement si $ AA'$, $ BB'$ et $ CC'$ sont concourantes.

NB: Notez bien qu'il s'agit d'une généralisation du théorème précédent! Deux droites parallèles en géométrie affine se croisent à l'infini dans leur complété projectif.

Démonstration:

$ \bullet\ $Supposons tout d'abord $ a$, $ b$ et $ c$ alignés. Ils déterminent donc une droite. On peut supposer que cette droite est la droite à l'infini, puisque, comme on l'a déjà dit, n'importe quelle droite (ou hyperplan dans le cas général) peut être considérée comme droite (ou, donc, hyperplan dans le cas général) à l'infini.

On peut alors appliquer le théorème [*].

Il nous reste maintenant à montrer la réciproque.

Pour cela on va utiliser la dualité... En fait, il n'y a tout simplement rien à faire, car l'énoncé dual du théorème de Desargues, dans le sens où on l'a montré est précisément sa réciproque.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... parallèles1.1
Ces deux triangles sont translatés l'un de l'autre ou homothétiques car directement semblables.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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