• En géométrie affine
• En géométrie projective

Théorème de Desargues

En géométrie affine

Théorème [Théorème de Desargues] On se donne et deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles ^1.1. Alors , et sont concourantes ou parallèles.

Démonstration:

Premier cas: et ne sont pas parallèles.

Alors elles se coupent en un point, disons .

est donc à la fois sur et sur , et donc . On en déduit le résultat demandé.

NB: là aussi on peut raisonner via des homothéties.

Second cas: et sont parallèles.

Alors , et on construit tel que ; on a alors magiquement , et donc est parallèle à et est parallèle à ; donc .

Il y a une réciproque au théorème de Desargues; voir paragraphe suivant...

En géométrie projective

Théorème [Théorème de Desargues] On se donne et deux triangles d'un plan projectif. On note , et les points d'intersection respectifs de et , et , et . Alors , et sont alignés si et seulement si , et sont concourantes.

NB: Notez bien qu'il s'agit d'une généralisation du théorème précédent! Deux droites parallèles en géométrie affine se croisent à l'infini dans leur complété projectif.

Démonstration:

Supposons tout d'abord , et alignés. Ils déterminent donc une droite. On peut supposer que cette droite est la droite à l'infini, puisque, comme on l'a déjà dit, n'importe quelle droite (ou hyperplan dans le cas général) peut être considérée comme droite (ou, donc, hyperplan dans le cas général) à l'infini.

On peut alors appliquer le théorème .

Il nous reste maintenant à montrer la réciproque.

Pour cela on va utiliser la dualité... En fait, il n'y a tout simplement rien à faire, car l'énoncé dual du théorème de Desargues, dans le sens où on l'a montré est précisément sa réciproque.

Notes

... parallèles^1.1

Ces deux triangles sont translatés l'un de l'autre ou homothétiques car directement semblables.